równość - problem z rozwiązaniem

[kamilrun]

Witam,

Chciałem Was zapytać o rozwiązanie takiego równania:

\(\displaystyle{ 2sin(2\alpha) = cos(2\alpha)}\)

Nie wiem czemu, ale ja tutaj nie widzę, jak można to zrobić.
Proszę o pomoc.

[ar1]

korzystaj ze wzorów na \(\displaystyle{ sin2 \alpha}\)
i \(\displaystyle{ cos2 \alpha}\)

[mat_61]

A nie prościej tak:

\(\displaystyle{ 2 \sin (2\alpha) = \cos(2\alpha)}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin (2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg (2\alpha) =\frac{1}{2}}\)

[kamilrun]

No można tak, ale jak to dalej rozwiązać??

wzór na \(\displaystyle{ tg(2\alpha)}\) to \(\displaystyle{ \frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}}\)

i co dalej ?? Podstawiając i rozwiązując równanie (kwadratowe) otrzymuję coś takiego, że \(\displaystyle{ tg\alpha}\) musi być równy \(\displaystyle{ -2+\sqrt{5}}\) albo \(\displaystyle{ -2-\sqrt{5}}\).

[mat_61]

A po co tak? Przecież mając równanie:

\(\displaystyle{ \tg (2\alpha) =\frac{1}{2}}\)

możesz je rozwiązać wyznaczając wartość argumentu funkcji tanges, czyli \(\displaystyle{ (2\alpha)=...}\)
To tak jakby zrobić podstawienie:

\(\displaystyle{ 2\alpha= \beta}\)

Rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \tg \beta =\frac{1}{2} \Rightarrow \beta =...}\)

i wyznaczyć \(\displaystyle{ \alpha}\) z równania:

\(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \beta }{2}}\)

[kamilrun]

a mógłbyś mi to rozpisać, bo nie wiem o co chodzi, a jak będziesz tak skrótowo pisał to nie zrozumiem tego..

[mat_61]

Ale tu nie ma przecież nic napisanego skrótowo. Masz po prostu rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \tg \beta =\frac{1}{2}}\)