Problem z przeksztalceniem

[Fifty]

\(\displaystyle{ \frac{sin \alpha }{1+cos \alpha }=tg \frac{ \alpha }{2}}\) dalej jest to rozwiazanie w ten sposob \(\displaystyle{ \frac{2sin \frac{ \alpha }{2}*cos \frac{ \alpha }{2} }{1+ cos^{2} \frac{ \alpha }{2}- sin^{2} \frac{ \alpha }{2} }=tg \frac{ \alpha }{2}}\) nie rozumiem skad sie wziely to polowki itp jezeli ktos by mogl mi to wytlumaczyc

[M Ciesielski]

Ze wzorów \(\displaystyle{ \sin (2\beta) = 2 \sin \beta \cos \beta}\) oraz \(\displaystyle{ \cos (2 \beta) = \cos^2 \beta - \sin^2 \beta}\). Weź sobie \(\displaystyle{ \beta = \frac{\alpha}{2}}\)

[Fifty]

ok ale dlaczego wolno mi tak zrobic poprostu zamienic \(\displaystyle{ \alpha}\) na \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2}}\)? przeciez w porzedniej formie bylo w liczniku \(\displaystyle{ sin \alpha}\) po pierwsze to nie to samo co\(\displaystyle{ sin2 \alpha}\) a po drugie \(\displaystyle{ \alpha}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2}}\) dlatego nie rozumiem...prosze jasniej

[M Ciesielski]

A ja nie powiedziałem Ci, żebyś zmieniał \(\displaystyle{ \alpha}\) na \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) tylko przyjął, że kąt \(\displaystyle{ \beta}\) to połowa kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\). Nie wiem co tu jaśniej można napisać.

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right)}\)

dla ułatwienia oznaczamy sobie \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2} = \beta}\) i wstawiamy:

\(\displaystyle{ \sin \left(2 \cdot \frac{\alpha}{2} \right) = \sin \left(2 \beta\right) = 2 \sin \beta \cos \beta = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}\)

[Fifty]

aa ok teraz kumam:) dzieki