Wymierny argument sinusa

[Dasio11]

Czy istnieje wymierna liczba \(\displaystyle{ r \neq 0}\) taka, że liczba \(\displaystyle{ \sin r}\) również jest wymierna?

[Zordon]

dla \(\displaystyle{ r\neq 0}\) wymiernych \(\displaystyle{ \sin r}\) jest liczbą przestępną, dowód można wyciągnąć z tw. Lindemanna-Weierstrassa wiedząc że \(\displaystyle{ \sin z= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\).
Potrzebny będzie też taki lemat: jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczną przestępną oraz \(\displaystyle{ f\in \mathbb{Q}(x)}\) (czyli \(\displaystyle{ f}\) to funkcja wymierna o współczynnikach wymiernych) i \(\displaystyle{ f}\) nie jest stała, to \(\displaystyle{ f(r)}\) jest przestępna.

[Dasio11]

Hmmm... "wyciągnąć"? A w jaki sposób? \(\displaystyle{ \mbox{i}r, -\mbox{i}r, \frac{1}{2 \mbox{i}}}\) nie są chyba algebraiczne, więc prawdopodobnie nie masz na myśli jakiejś prostej aplikacji twierdzenia.



Na wszelki wypadek przytoczę dostępne mi twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa, bo jest to dla mnie zupełnie nowy temat i nie znam \(\displaystyle{ \sim}\)miliarda równoważnych sformułowań:

Tw.:    

Niech liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, ..., a_k}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, b_3, ..., b_k}\) będą liczbami algebraicznymi takimi, że wszystkie \(\displaystyle{ a_i}\) są różne, a wszystkie \(\displaystyle{ b_i}\) niezerowe. Wtedy \(\displaystyle{ b_1 e^{a_1} + b_2 e^{a_2} + b_3 e^{a_3} + ... + b_k e^{a_k} \neq 0}\).

jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest liczną przestępną oraz \(\displaystyle{ f\in \mathbb{Q}(x)}\) (czyli \(\displaystyle{ f}\) to funkcja wymierna o współczynnikach wymiernych) i \(\displaystyle{ f}\) nie jest stała, to \(\displaystyle{ f(r)}\) jest przestępna.

Czy chodzi o przestępność \(\displaystyle{ f(a)}\)?

[Zordon]

Naturalnie, że \(\displaystyle{ ir}\) jest liczbą algebraiczną. Nietrudno zapisać odpowiedni wielomian.
Odpowiednio ogólne sformułowanie twierdzenia jest na wiki. Wynika z niego tyle, że jeśli \(\displaystyle{ r\neq 0}\) jest alg. nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) to \(\displaystyle{ e^r}\) jest przestępna. W lemacie jak słusznie zauważyłeś jest literówka. Dla nas wystarczy szczególny przypadek lematu:
\(\displaystyle{ a}\) przestępna wtedy \(\displaystyle{ a- \frac{1}{a}}\) przestępna.

edit: pisząc "wiki" miałem na myśli ten artykuł: ... ss_theorem

[Dasio11]

Naturalnie, że \(\displaystyle{ ir}\) jest liczbą algebraiczną. Nietrudno zapisać odpowiedni wielomian.

Ouch! Naturalnie, naturalnie. Przez chwilę zdawało mi się, że zbiór liczb algebraicznych to podzbiór liczb rzeczywistych...

Zatem tak:
Z twierdzenia i z lematu otrzymujemy przestępność \(\displaystyle{ e^{\mathrm{i}r} - \frac{1}{e^{\mathrm{i} r} }}\) dla \(\displaystyle{ r}\) algebraicznego. Nietrudno pokazać nie wprost, że \(\displaystyle{ \frac{ e^{\mathrm{i}r} - \frac{1}{e^{\mathrm{i} r} }}{2 \mathrm{i}}}\) również jest przestępne, tzn. \(\displaystyle{ \sin r}\) jest przestępne.

Gdybym jeszcze poznał elementarny dowód twierdzenia i lematu, bo bym już odpowiedź na pierwotne pytanie ogarniał

[Zordon]

Lemat możesz udowodnić w tym szczególnym przypadku (nie wprost). To nie jest trudne. Natomiast tw. Lindemanna-Weierstrassa to już istotna armata ;D Dowód jest bardzo ciężki do ogarnięcia, jeśli się chce poczuć klimat to warto zacząć od dowodu przestępności \(\displaystyle{ \pi}\) i \(\displaystyle{ e}\). Co ciekawe za tym wszystkim kryje się dużo ogólniejsze tw. pod nazwą hipoteza Schanuela, jak sama nazwa wskazuje, nie wiadomo nawet czy jest prawdziwe