Czy sin(alfa) może się równać tg(beta)+ctg(beta)

[Żelazny]

Czy \(\displaystyle{ sin\alpha}\) może się równać \(\displaystyle{ tg\beta+ctg\beta}\), dla pewnego \(\displaystyle{ \beta\in R}\)??

[DEXiu]

Nie, gdyż \(\displaystyle{ tg\beta+ctg\beta=tg\beta+\frac{1}{tg\beta}}\). Rozważania możemy ograniczyć do przypadku \(\displaystyle{ tg\beta>0}\) (równe 0 być nie może ze względu na występowanie w mianowniku ułamka). Ale dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej \(\displaystyle{ x}\) (a taką jest \(\displaystyle{ tg\beta>0}\) - podstawmy więc sobie za niego \(\displaystyle{ x}\)) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\geq{2}}\) - dowód jest dość prosty, a znając nierówność Cauchy'ego - natychmiastowy (dla \(\displaystyle{ tg\beta}\) będzie analogicznie \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x}\leq{-2}}\) - stąd to założenie, że możemy ograniczyć do przypadku dodatniego), a takiej wartości sinus nie osiągnie

[Żelazny]

Dzięki, zupełnie nie wziąłem pod uwagę nierówności Cauchy'ego .

[mksm]

skąd wzięła się ta nierówność z dwójką?

-- 15 maja 2010, o 10:00 --

jeżeli zrobię to tak:

\(\displaystyle{ tg \beta + ctg \beta = ctg\alpha + tg \alpha = ctg \alpha + \frac{1}{ctg \alpha} = \frac{cos \alpha}{sin \alpha} + \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{1}{sin \alpha cos \alpha}}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha \neq \frac{1}{sin \alpha cos \alpha}}\)
bo \(\displaystyle{ sin \alpha cos \alpha < 1}\)


to będzie to dobrze, czy źle?

[miki999]

Nie wiem dlaczego przeszłaś z \(\displaystyle{ \beta}\) do \(\displaystyle{ \alpha}\) w 1. równości. Jeżeli to zadanie maturalne to może wypadałoby jeszcze zamienić: \(\displaystyle{ \sin \beta \cos \beta}\) na \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin \left( \frac{\beta}{2}\right)}\). Wypada również dodać moduł po lewej stronie w końcowej nierówności.

Ogólnie jest dobrze



Pozdrawiam.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ sin \beta cos \beta = \frac{1}{2} \cdot 2sin \beta cos \beta = \frac{1}{2}sin2 \beta}\)

[miki999]

Zgadza, się.



Pozdrawiam.