Równanie tryg. z parametrem.

[raidmaster]

Proszę o pomoc przy zadaniu:
Dana jest funkcja:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-2x+cos2\alpha+sin\alpha+3}\)
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) najmniejsza wartość funkcji f jest równa 2.

[Żelazny]

a>0, zatem f(x) najmniejszą wartość przyjmuje dla p=-b/2a=2/2=1 i wartość ta wynosi

\(\displaystyle{ f(1)=cos2\alpha+sin\alpha+2}\)

Zgodnie z warunkami zad ma być 2, więc


\(\displaystyle{ cos2\alpha+sin\alpha+2=2}\)

Stosujesz wzór na kąty połówkowe i jest

\(\displaystyle{ 1-2sin^2\alpha+sin\alpha=0}\)

Wstawiasz \(\displaystyle{ t=sin\alpha, t\in}\) i masz

\(\displaystyle{ 2t^2-t-1=0}\)

Rozwiązujesz f. kwadratową i w miejsce t wstawiasz z powrotem sin, a potem rozwiązujesz równania z sinusami. Aha, zwykle nie mówi się, że alfa to parametr, tylko wartość kąta.

[raidmaster]

Tak, robiłem podobnie. Tylko że mam w odpowiedziach do tego zadania takie rozwiązania:
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2} +2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha=\frac{-\pi}{6} +2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha=\frac{7\pi}{6} +2k\pi}\) gdzie \(\displaystyle{ k C}\).
Dlaczego z rozwiązania wyłączone są: \(\displaystyle{ \alpha=\frac{-\pi}{2} +2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{6} +2k\pi}\).
nie mówiąc już o trzecim rozwiązaniu: \(\displaystyle{ \alpha=\frac{7\pi}{6} +2k\pi}\), które mi się nie zgadza.

Ja zrobiłem to w ten sposób, zamiast:
\(\displaystyle{ 1-2sin^2\alpha+sin\alpha=0}\)
zrobiłem sobie:
\(\displaystyle{ 2cos^{2}\alpha-1+sin\alpha=0.}\)
Potem dołączyłem jedynkę trygonometryczną:
\(\displaystyle{ 2cos^{2}\alpha-1+sin\alpha=0.}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=1-2cos^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ (1-2cos^{2}\alpha)^{2}+cos^{2}\alpha=1}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\).
Czyli rozwiązania: \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2} +2k\pi}\), \(\displaystyle{ \alpha=\frac{-\pi}{2} +2k\pi}\), \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{6} +2k\pi}\) ,\(\displaystyle{ \alpha=\frac{-\pi}{6} +2k\pi}\) ,\(\displaystyle{ \alpha=\frac{-5\pi}{6} +2k\pi}\), \(\displaystyle{ \alpha=\frac{5\pi}{6} +2k\pi}\).
I tutaj właśnie mi nie wychodzi, a powinno niezależnie od tego jak podzieliłem sobie na te kąty połówkowe. Gdzie robię błąd? No chyba, że te rozwiązania się jakoś przekształca. Jeżeli tak to proszę o wyjaśnienie.

[Żelazny]

Z mojego równania wyszło idealnie tak, jak masz w odpowiedziach. Musiałeś się gdzieś machnąć w przekształceniach albo obliczeniach - znam ten ból. Pozdro

[przemk20]

Wydaje mi sie ze jak podstawiasz za sinusa i podnosisz do kwadratu dorzucasz sobie rozwiazania ktore sa sprzeczne, bo np. jezeli sin rowna sie 1 to po podniesieniu do kwadratu tez masz 1, ale gdy -1 podniesiesz do kwadratu to tez masz 1,

[raidmaster]

Zgadzam się z wami, tylko nurtuje mnie jedna rzecz. Siedzę na maturze, wiadomo: stres itp. No i np. zamiast robić sposobem usera "Żelaznego", zacznę robić takim sposobem jakim próbowałem. Mimo wszystko powinny wyjść takie same odpowiedzi, tzn. Jeżeli dla sinusa wychodzi rozwiązanie, to dla cosinusa tez powinno wychodzi. Czytałem, że po podstawieniu tej jedynki trygonometrycznej, jeżeli np. jak było w moim sposobie wyjdą:
\(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
To następną czynnością powinno być utworzenie 3 ukł. równań:
\(\displaystyle{ sin\alpha=1-2cos^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha=1-2cos^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin\alpha=1-2cos^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Gdy te wartości \(\displaystyle{ cos\alpha}\) podstawiłem kolejno do równania
\(\displaystyle{ sin\alpha=1-2cos^{2}\alpha}\), to wtedy wyszły rozwiązania dla sinusa:
\(\displaystyle{ 1)sin\alpha=1-2*0^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ sin\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ 2)sin\alpha=1-2*(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ sin\alpha=-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3)sin\alpha=1-2*(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ sin\alpha=-\frac{1}{2}}\)
I w ten sposób te tzw. fałszywe pierwiastki zostają wyeliminowane (równanie 2. i 3.).
I takie właśnie rozwiązania były w odpowiedziach, no ale co z rozwiązaniami:
\(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Czy one są tylko "pomocnicze" i nie powinny być brane pod uwagę?
W książce mam napisane, że konfrontuje się te rozwiązania. Jest mi to ktoś w stanie wytłumaczyć?
Za dotychczasową pomoc dziękuję.

[Rogal]

Konfrontuje to znaczy wstawia do pierwotnego równania i patrzy czy jest spełnione.
A poza tym morał z tego taki, by życia sobie nie utrudniać, szczególnie na maturze, gdy czasu za wiele nie ma.

[Żelazny]

Ja też mam często podobne problemy z wyborem odpowiedniej "ścieżki" rozwiązań, raidmaster . Dlatego staram się nigdy nie kombinować z cosinusami .