Równanie trygonometryczne

[Siemion92]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{\log ^{2} _{ \frac{1}{2} }\sin x} + \left( \sin x \right) ^{\log_{ \frac{1}{2} }\sin x} = 1}\)
Proszę o jakieś wskazówki do tego równania a najlepiej pełne rozwiązanie.

[piasek101]

Jeszcze się nie brałem, ale czy przypadkiem (0,5) nie było podstawą logarytmu ?

[Siemion92]

tak ale nie wiedzialem jak to napisać

To teraz już wiesz.
Lbubsazob-- 26 stycznia 2011, 22:29 --Dzięki, a wiesz ktoś może co z tym równaniem ?:) bo nie mam żadnych pomysłów na nie

[piasek101]

No to tak :
- dziedzina
- ,,zabawić się" pierwszą częścią między innymi \(\displaystyle{ a^{log_b c}=c^{log_b a}}\)

i zauważyć, że to \(\displaystyle{ sinx^{log_{0,5}sinx}}\)

[Siemion92]

Próbowałem i nic ma ktoś jakiś pomysl?

[Lbubsazob]

Mam nadzieję, że jest ok.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{\log_{\frac{1}{2}}\sin x \cdot\log_{\frac{1}{2}}\sin x }=\left[ \left( \frac{1}{2} \right) ^{\log_{\frac{1}{2}}\sin x } \right] ^{\log_{\frac{1}{2}}\sin x } =\left( \sin x\right) ^{\log_{\frac{1}{2}}\sin x }}\)

\(\displaystyle{ 2\sin x ^{\log_{\frac{1}{2}}\sin x }=1 \\
\sin x ^{\log_{\frac{1}{2}}\sin x }=\frac{1}{2} \\
\sin x ^{ \frac{1}{\log_{\sin x} \frac{1}{2} } }}= \frac{1}{2} \\
\Downarrow \\
\sin x=a, \frac{1}{2} =b,\log_{\frac{1}{2}}\sin x =c \\
a^c=b \Rightarrow \log_a b=c \\
\Downarrow \\
\log_{\sin x} \frac{1}{2}=\frac{1}{\log_{\sin x} \frac{1}{2} } } \\
\left( \log_{\sin x} \frac{1}{2} \right)^2=1 \\
\log_{\sin x} \frac{1}{2}=1 \vee \log_{\sin x} \frac{1}{2}=-1 \\
\sin x= \frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \\
\sin x=2 \Rightarrow x\in \emptyset}\)

[piasek101]

ok.

Ale na przyszłość - mogłaś zlogarytmować stronami , tutaj :

\(\displaystyle{ sin x^{log_{0,5}sinx}=0,5}\)

i jest \(\displaystyle{ log_{0,5}^2 sinx = 1}\)