Wyznaczanie zbioru wartości funkcji

[adambak]

Witam!
Mam takie zadanko:
Wyznacz zbiór wartości funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=sin(2x) + cos( \frac{\pi}{6} - 2x )}\)

i nie wiem jak się do tego zabrać, jak na tego typu zadania patrzeć. Próbowałem rozbijać sinusa i kosinusa ze wzorków jakie tylko są w tablicy wzorów maturalnych, jednak do niczego ciekawego nie dochodziłem. Zawsze pozostawały obie te funkcje i nie wiedziałem co dalej z tym robić, jak to rozwiązać. Inne przykłady, które robiłem były znacznie prostsze bo dało się doprowadzić do takiej postaci gdzie ewidentnie widać było zbiór wartości funkcji.

Pomoże ktoś?

[Tillo]

funkcja \(\displaystyle{ sinx}\) jest ograniczona z dołu przez \(\displaystyle{ -1}\) i z góry przez \(\displaystyle{ 1}\). Funkcja \(\displaystyle{ cosx}\) tak samo. Więc ich suma będzie z góry ograniczona przez \(\displaystyle{ 2}\) i z dołu przez -\(\displaystyle{ 2}\). A więc zbiór wartości to \(\displaystyle{ [-2,2]}\).

[Lorek]

Tillo, czyli zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ k(x)=\sin x+\cos x}\) też jest \(\displaystyle{ [-2,2]}\)?

[Tillo]

faktycznie zagalopowałem się, przepraszam za wprowadzanie w błąd

[Lorek]

adambak, a po rozpisaniu do czego doszedłeś?

[adambak]

\(\displaystyle{ f(x) = sin(2x) + cos( \frac{\pi}{6} - 2x )}\)

\(\displaystyle{ f(x) = 2sin(x) \cdot cos(x) + cos( \frac{\pi}{6} ) \cdot cos(-2x) + sin( \frac{\pi}{6} ) \cdot sin(-2x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) = 2sin(x) \cdot cos(x) + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot cos(2x) - \frac{1}{2} \cdot sin(2x)}\)

No i w sumie to robię tak "na pałę" bo rozpisuję wszystko co się da, a może właśnie niekiedy się nie powinno i raczej powinno się zwijać, a nie rozwijać.

\(\displaystyle{ f(x) = sin(x) \cdot cos(x) + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot cos(2x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) = sin(x) \cdot cos(x) + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot (1 - 2 \cdot sin ^{2}(x) )}\)

No i tutaj już widzę że nic nie zobaczę. Jakieś pomysły co później/wcześniej zrobić?

[Lorek]

Cosinusa źle rozpisałeś, a sinusa nie rozpisuj.

[adambak]

No, coś tak czułem że za dużo rozpisywać też nie ma co, alee.. nie widzę. Gdzie źle rozpisałem? Na początku?

[Lorek]

No na początku, wzór na cosinus różnicy.

[adambak]

No nie mogę.. Co za błąd, sorry..

\(\displaystyle{ f(x) = sin(2x) + cos( \frac{\pi}{6} ) \cdot cos(2x) + sin( \frac{\pi}{6} ) \cdot sin(2x)}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{3}{2} sin(2x) + \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot cos(2x)}\)

Nie jest źle, mam funkcje od tego samego kąta, ale nie wiem co dalej. Myślałem żeby może coś wyłączyć przed nawias i skorzystać z jakiegoś wzoru, żeby złożyć to w funkcję trygonometryczną sumy kątów, ale nie wiem czy się da. Bo ogólnie to myślałem żeby upraszczać w tym kierunku, zwijać do jednej funkcji której zbiór wartości jestem w stanie określić..

[Lorek]

Wyłącz \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

[adambak]

Czyli tak jak czułem, ale nie miałem już siły

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{3} \cdot (sin(2x) \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2} \cdot cos(2x) )}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{3} \cdot (sin(2x) \cdot cos( \frac{\pi}{6} ) + sin( \frac{\pi}{6} ) \cdot cos(2x) )}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt{3} \cdot sin(2x+ \frac{\pi}{6} )}\)

czyli zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ <- \sqrt{3}; \sqrt{3} >}\)

Dobrze?

[Lorek]

Tak.

[adambak]

Dzięki wielkie, pomogłeś