Pokazanie równości funkcji

[samsung1991]

Witam, proszę o wskazówki:
1. a)Podaj wnioski wypływające z twierdzenia Lagrange'a oraz wykorzystaj je do:
b)pokazania równości funkcji \(\displaystyle{ arctg \frac{1}{x}+arctgx= \frac{ \pi }{2}}\)
c)wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x}{lnx}}\)
Moje przemyślenia:
ad.a)Wnioski brzmią:
1)Jeżeli \(\displaystyle{ f'(x)=0}\) \(\displaystyle{ \forall x\in [a,b] \Rightarrow}\) f. stała w [a,b]
2)Jeżeli \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) \(\displaystyle{ \forall x\in [a,b] \Rightarrow}\) f. rosnąca w [a,b]
3)Jeżeli \(\displaystyle{ f'(x)<0}\) \(\displaystyle{ \forall x\in [a,b] \Rightarrow}\) f. malejąca w [a,b]

ad.b)

ad.c) zał. \(\displaystyle{ lnx \neq 0 \Rightarrow x \in (0,1) \cup (1,+ \infty )}\)
Liczę pochodną:
\(\displaystyle{ f'(x)= \frac{(x)'(lnx)-(x)(lnx)'}{(lnx) ^{2} } = \frac{lnx-1}{lnx ^{2} }}\)
Tu mam takie pytanie czy ? \(\displaystyle{ (lnx) ^{2} = ln ^{2}x}\)

[anna_]

Tu mam takie pytanie czy ? \(\displaystyle{ (lnx) ^{2}}\)=\(\displaystyle{ ln ^{2}x}\)

tak

[blost]

jak wyglada to rownanie b ? zapewne chodzi o pokazanie ze pochodne sa rowne, wiec funkcje moga sie roznic tylko o stala.

[samsung1991]

nie rozumiem o co ci chodzi tym b mam to równanie i właśnie pytam do jakiej postaci mam to przekształcić

[blost]

ale tam masz blad wiec nie sposob cos podpowiedziec

[samsung1991]

jaki blad taki brzmi polecenie moze brakuje tam tylko zalozenia ze x>0 a tak to wytlumacz o co ci chodzi a nie to jest zadanie z egzaminu ? wiec jaki blad ?

[anna_]

b)pokazania równości funkcji \(\displaystyle{ arctg \frac{1}{x}+arctg(tu \ czegos \ brakuje)= \frac{ \pi }{2}}\)

[samsung1991]

Ehe, trzeba było tak od razu nie zauważyłem mój błąd, to ma być tak
\(\displaystyle{ arctg \frac{1}{x}+arctgx= \frac{ \pi }{2}}\)

jakaś podpowiedź teraz ?

[miodzio1988]

Np policz pochodną lewej strony.

[samsung1991]

\(\displaystyle{ (arctg \frac{1}{x}+arctgx)'= { \frac{1}{1+x ^{-2}} \cdot (-x) ^{-2} + \frac{1}{1+x ^{2} } }}\)

[miodzio1988]

Prawie.

\(\displaystyle{ { \frac{1}{1+x ^{-2}} \cdot (-1) \cdot ( x) ^{-2} + \frac{1}{1+x ^{2} } }}\)

Teraz pokaż, że to jest równe zero

[samsung1991]

wyszlo zero jaki z tego morał ?

[miodzio1988]

Ze funkcja po lewej stronie jest stała . Zatem wystarczy nam jeden punkt wstawić do tej funkcji, żeby zobaczyć jaką ma wartosc ciagle. Zgadnij jaka to bedzie wartosc;]