Przecięcie się dwóch funkcji

[SzopenPL]

Witam

Miałem na sprawdzianie zadanie w którym były funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)=cos x \\ g(x)=| \frac{2x}{\pi} -1|}\)

Do określenia przedziałów potrzebowałem miejsc wspólnych tych funkcji. I tutaj pytanie: Czy da się elementarnie (łatwo) znaleźć miejsca wspólne. Czy raczej musielibyśmy rozbijać cos x na funkcje wykładniczą z e co by nie miało sensu z tak małą ilością czasu i z moją wiedzą. Ja narysowałem przybliżone wykresy funkcji i zobaczyłem po nich że bardzo blisko są w miejscach (0,1) oraz (pi/2 , 0) i tak właśnie było, były to punkty wspólne.
Jednak lepiej bym się czuł gdybym do tego doszedł drogą obliczeń.
Pozdrawiam.

[Kacperdev]

zapmnialas jeszcze o punkcie

\(\displaystyle{ (- \frac{\pi}{2}, 0)}\)

Rachunkowo mozna na pdst. wykresu. Rysujac oba wykresy widzimy ze g(x) z osiami OX i OY tworzy dwa przystajace prostokątne trójkąty. Znamy wysokosc tego trójkąta h=1 oraz tanges jednego kąta
\(\displaystyle{ tg( \alpha )= \frac{2}{\pi}}\)

W istocie wysokosc tego trójkata to y... a podstawa to x. Udowodnimy, ze \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}}\) ponieważ dla takiego argumentu wartosc y=cos(x)=0.

def. tg

\(\displaystyle{ tg= \frac{y}{x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\pi}= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}}\)

Mamy wiec dowód, ze podstawa tego trójkąta=punkt przeciecia z cos(x) jest równa.

Mam nadzieje ze nie brzmi to dosc pokretnie xD

[SzopenPL]

Hmm ja bym się kłócił patrząc na wykres że punkt \(\displaystyle{ (- \frac{\pi}{2},0)}\) jest jednym z rozwiązań. Wręcz nawet się nie zgadzam -- 15 sty 2011, o 14:24 --A tak po za tym to skąd wiesz że dany trójkąt ma wysokość 1 a ten drugi 2 i podstawę Pi ? Jeśli się na rysunku wzorujesz to lepiej już podstawić tak jak ja zrobilem pi/2 do cos x i do tego drugiego i sprawdzać fartem czy może to będzie akurat tyle samo równe nastepnie to samo z zerem.

[Kacperdev]

EHh....obie funkcje są parzyste... wiec maja 3 rozwiązania. Wiem stąd ze
\(\displaystyle{ 1=cos(0)}\) Jednoczesie znam jeden wspólny punkt na 100% (moge to zrobic podstawiajac np.)
\(\displaystyle{ (0,1)}\)

EDIT:

Miales trygonometrie?

wiesz ze wspólczynnik kierunkowy jest rowny tangesowi nachylenia do osi OX? Bo mam wrazenie ze w ogole nie rozuesz co napisalem.

[SzopenPL]

Wiem co napisałeś jednak nie wiem czy wiesz co to znaczy funkcja jest parzysta. Jak chcesz możesz mi tu udowodnić że g(x) jest parzysta, będę pełen podziwu.

Przy okazji ponawiam pytanie może bardziej przejrzyście je teraz sformułuje:
Czy istnieje sposób na algebraiczne rozwiązanie tego równania bez korzystania z wykresu ?

[Kacperdev]

zwracam honor... mój bląd rzeczywiscie funkcja jest przesunieta o wektor \(\displaystyle{ [ \frac{\pi}{2}, -1 ]}\) no i pod wartoscia.