Wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ [x]}\) (chodzio o cechę - część calkowita) mniejszego lub równego 1 zachodzi:
\(\displaystyle{ arcsin x + arccos x = \frac{ \pi }{2}}\)
Z góry bardzo dziękuję za pomoc.
Dowód z cechą i arcusami.
-
jacek7838
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 16:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 10 razy
- Pomógł: 1 raz
Dowód z cechą i arcusami.
Założę się, że chodziło o \(\displaystyle{ \left| x\right| \le 1}\), a nie o \(\displaystyle{ \left[ x\right] \le 1}\) , ponieważ dziedziną funkcji \(\displaystyle{ arcsinx}\) jest przedział \(\displaystyle{ \left[ -1, 1\right]}\).
Mogę Ci pomóc w rozwiązaniu z \(\displaystyle{ \left| x\right| \le 1}\).
Więc tak:
nasze dowolne \(\displaystyle{ x \in \left[ -1,1\right]}\) zapisujemy jako np. \(\displaystyle{ x=sin \alpha}\) , możemy tak przyjąć, ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest właśnie przedział \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\).
\(\displaystyle{ sin \alpha =cos\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ arcsin x + arccos x = arcsin(sin \alpha )+arccos(cos\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right))= \alpha + \frac{ \pi }{2} - \alpha = \frac{ \pi }{2}}\)
co należało dowieść
Pozdrawiam
Mogę Ci pomóc w rozwiązaniu z \(\displaystyle{ \left| x\right| \le 1}\).
Więc tak:
nasze dowolne \(\displaystyle{ x \in \left[ -1,1\right]}\) zapisujemy jako np. \(\displaystyle{ x=sin \alpha}\) , możemy tak przyjąć, ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ sin \alpha}\) jest właśnie przedział \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\).
\(\displaystyle{ sin \alpha =cos\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ arcsin x + arccos x = arcsin(sin \alpha )+arccos(cos\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right))= \alpha + \frac{ \pi }{2} - \alpha = \frac{ \pi }{2}}\)
co należało dowieść
Pozdrawiam