Pare zadań

[greku92]

1.Wiedząc,że:
\(\displaystyle{ cosx =- \frac{2}{3} i x \in < \pi ;2 \pi > oblicz cos \frac{1}{2}x}\)
Z tym zadaniem mam taki problem ze nie mam pojęcia jak go wykonać wiem ze to jest dość proste ale chyba sobie opuściłem lekcje jak to było.


2.Dla jakich wartości parametru k równanie:\(\displaystyle{ sin ^{4} x + cos ^{4} x = \frac{2k + 1}{k-1}}\) ma rozwiązania?
ja zrobiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ (sin ^{2}x+cos ^{2}) ^{2}- 2sinx ^{2}xcos ^{2}x= \frac{2k+1}{k-1}}\)
\(\displaystyle{ 1-2sin ^{2} xcos ^{2} x= \frac{2k+1}{k-1}}\)
\(\displaystyle{ 2 sin ^{2} xcos ^{2} x= \frac{2k-k+1-1}{k-1}}\)
\(\displaystyle{ 2 sin ^{2} xcos ^{2} x= \frac{k+2}{k-1}}\)
i teraz moje pytanie brzmi co dalej??

3.Dany jest układ równań\(\displaystyle{ \begin{cases} (sin \alpha - 1)x +y =1 \\ -2sin \alpha *x+ (2sin \alpha +1)y = sin \alpha \end{cases}}\)
a) rozwiąż ten układ przyjmując \(\displaystyle{ \alpha \in <0;2 \pi >}\)
b) dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha \in <0;2 \pi >}\) rozwiązaniem tego układy jest para liczb ujemnych??
Proszę o pomoc przy tym zadaniu bo nie za bardzo wiem jak je zrobić.

4.Wykaż,że równanie\(\displaystyle{ \frac{-cos2x}{sinxcosx}= tgx + \frac{1}{tgx}}\) nie jest tożsamością.

Ja zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ tgx + \frac{1}{tgx} = \frac{sinx}{cosx} + \frac{cosx}{sinx} = \frac{sin ^{2}x + cos ^{2} x}{sinxcosx} \neq \frac{- cos ^{2} x +sin ^{2}x}{sinxcosx}}\)

Czy to jest dobrze??

[piasek101]

1) \(\displaystyle{ 0,5x\in <0,5\pi; \pi>}\)

Oraz \(\displaystyle{ cosx=2cos^2 (0,5x) - 1}\)

4) ok.

2) tam coś nie tak przekształciłeś z tymi (k).
Dołożyłbym jedynkę trygonometryczną i podstawiał, ale może istnieć coś łatwiejszego.

[akw]

\(\displaystyle{ 2 sin ^{2} xcos ^{2} x}\)

Myślę że można się zatrzymać w tym miejscu. Iloczyn kwadratów tych dwóch funkcji przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <0;1)}\) w takim razie podwojony iloczyn przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <0;2)}\)

W takim razie rozwiązujesz taką koniunkcję:
\(\displaystyle{ 0\le \frac{k+2}{k-1}<2}\)

[Anon1m]

\(\displaystyle{ 2 sin ^{2} xcos ^{2} x}\)

Myślę że można się zatrzymać w tym miejscu. Iloczyn kwadratów tych dwóch funkcji przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <0;1)}\) w takim razie podwojony iloczyn przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <0;2)}\)

W takim razie rozwiązujesz taką koniunkcję:
\(\displaystyle{ 0\le \frac{k+2}{k-1}<2}\)

Chyba pomylilo Ci sie kolego z jedynka trygonometryczna