cos(x-y) oraz dowód na połowy kątów w trójkacie

[Dax13]

Witam, mam problem z dwoma zadaniami:
1)
\(\displaystyle{ sinx= \frac{1}{4} \wedge x \in (0; \frac{ \pi }{2} )}\)
\(\displaystyle{ tgy=-\frac{1}{2} \wedge y \in (\frac{ \pi }{2}; \pi)}\)
Oblicz: \(\displaystyle{ cos(x-y)}\)

Zad2. Wykaż że jeżeli \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) są kątami trójkąta takimi że:
\(\displaystyle{ sin \frac{ \alpha }{2} * sin \frac{ \gamma}{2} = sin \frac{ \beta}{2}}\)
to \(\displaystyle{ tg \frac{\alpha}{2}* tg\frac{ \gamma}{2} = \frac{1}{2}}\)

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.
Pozdrawiam

[anna_]

1) policz \(\displaystyle{ cos x}\), \(\displaystyle{ sin y}\) i \(\displaystyle{ cos y}\) potem \(\displaystyle{ cos(x-y)}\) ze wzorów

[Dax13]

\(\displaystyle{ cos x}\) liczę z jedynki trygonometrycznej,
\(\displaystyle{ \frac{siny}{cosy} = \frac{1}{2}}\)
i jak z tego mam policzyc \(\displaystyle{ siny}\)i \(\displaystyle{ cosy}\)?

[anna_]

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{siny}{cosy} = - \frac{1}{2} \\ sin^2y+cos^2y=1 \end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ y}\) kąt z II ćwiartki

[Dax13]

\(\displaystyle{ cosy}\) wyszedł mi \(\displaystyle{ -\frac{2}{\sqrt{5} }}\)
mam nadzieję że dobrze...
Dzięki za pomoc

[anna_]

Jest dobrze, ale zapisz to w postaci \(\displaystyle{ - \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)

[endrju258]

Dax13 czuje, że jestem powołany do tego, by ci pomóc. Mianowicie zadanie 2 powinieneś rozwiązać w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2}=\sin \frac{\beta}{2}}\)
dzielisz obie strony przez \(\displaystyle{ \cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}}\),
wychodzi ci wtedy \(\displaystyle{ \frac{\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\beta}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\gamma}{2}=\frac{\sin \frac{\beta}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}}}\)
Idąc dalej, prawdziwy z zadania jest warunek: \(\displaystyle{ \alpha + \beta +\gamma = 180^{o}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\alpha + \beta +\gamma}{2} = 90^{o}}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{\beta}{2} = 90^{o} - \frac{\alpha + \gamma}{2}}\), więc
\(\displaystyle{ \sin \frac{\beta}{2} = \sin (90^{o} - \frac{\alpha + \gamma}{2})}\), ze wzorów redukcyjnych
\(\displaystyle{ \sin (90^{o} - \frac{\alpha + \gamma}{2}) = \cos \frac{\alpha + \gamma}{2}}\), podstawiasz to do wcześniejszego wzoru, czyli:
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\gamma}{2}=\frac{\cos \frac{\alpha + \gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}}}\)
Rozpisujesz prawą stronę, czyli:
P=\(\displaystyle{ \frac{\cos (\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2})}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\gamma}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\gamma}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}}= \frac{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}} - \frac{\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\gamma}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \frac{\gamma}{2}}}\)
\(\displaystyle{ = 1 - \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\gamma}{2}}\), podstawiasz prawą stronę do głównego równania i masz tak:
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\gamma}{2} = 1 - \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\gamma}{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} \cdot \tan \frac{\gamma}{2} = \frac{1}{2}}\)

I teraz moje ulubione \(\displaystyle{ cnd}\). Mam nadzieję, że pomogłem.