Wyprowadzenie wzorów

_p_h_p_ · Post autor: **_p_h_p_** » 2 gru 2006, o 15:35

Jak można wyprowadzić wzory na sinx, cosx tgx i ctgx, aby przybrały postać na na tangensy kątów połówkowych.

Np.jak wyprowadzić taki wzór, korzystając z innych znanych przekształceń:

\(\displaystyle{ sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 gru 2006, o 15:46

1. Podstaw \(\displaystyle{ x=2y}\), masz wtedy do wyprowadzenia wzór
\(\displaystyle{ \sin 2y=\frac{2tg y}{1+tg^2 y}}\)

_p_h_p_ · Post autor: **_p_h_p_** » 2 gru 2006, o 16:20

Ale chodzi mi jak to przekształcić od samego początku?

Lorek · Post autor: **Lorek** » 2 gru 2006, o 16:33

Hmm, może tak?
\(\displaystyle{ \sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2tg\frac{x}{2}\cos^2 \frac{x}{2}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{\frac{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}{\cos^2\frac{x}{2}}}=\frac{2tg\frac{x}{2}}{tg^2\frac{x}{2}+1}}\)

_p_h_p_ · Post autor: **_p_h_p_** » 2 gru 2006, o 22:15

No to może jeszcze na ctgx

yorgin · Post autor: **yorgin** » 2 gru 2006, o 22:22

\(\displaystyle{ sinx=2sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2ctg\frac{x}{2}\sin^2\frac{x}{2}
=\frac{2ctg\frac{x}{2}}{\frac{1}{sin^2\frac{x}{2}}}
=\frac{2ctg\frac{x}{2}}{\frac{sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2}}{sin^2\frac{x}{2}}}=
\frac{2ctg\frac{x}{2}}{1+ctg^2\frac{x}{2}}}\)
Analogicznie wszystko idzie jak w przypadku tangensa
(Hmm jak patrze to chyba nie o to dokładnie chodziło...Ale coś tam napisałem )