Może dam radę, na pewno spróbuje.
Na razie zrobię 6.
\(\displaystyle{ \frac{1 + tg^2 x }{1 + ctg^2x} \cdot cos^{2} x = sin^{2} x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1 + tg^2 x }{1 + ctg^2x} \cdot cos^{2} x = \frac{1 + \frac{sin ^{2}x }{cos ^{2}x } }{1 + \frac{cos ^{2}x }{sin ^{2}x } } \cdot cos^{2}x = \frac{ \frac{sin ^{2}x \cdot cos ^{2}x }{cos ^{2}x } }{ \frac{sin^{2}x \cdot cos^{2}x}{sin ^{2}x} } \cdot cos ^{2}x = \frac{sin^{4}xcos^{2}x}{cos^{4}xsin^{2}x} \cdot cos ^{2}x = \frac{sin^{4}xcos^{4}x}{sin ^{2}x \cdot cos^{4}x } = sin ^{2}x}\)-- 29 gru 2010, o 19:08 --7. Robisz rysunek.
\(\displaystyle{ a, b}\) - boki
\(\displaystyle{ a>b}\)
Oznacz
\(\displaystyle{ A, B, C, D}\) - wierzchołki
\(\displaystyle{ S}\)- punkt przecięcia przekątnych
Mamy
\(\displaystyle{ P = ab=240}\)
\(\displaystyle{ Ob=2(a+b) = 68 \Rightarrow a+b = 34 \Rightarrow a= 34-b}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ a= 34-b}\) do równania \(\displaystyle{ ab=240}\)
Czyli \(\displaystyle{ P =(34-b)b =240}\)
Przerzucamy wszystko na lewą i otrzymujemy \(\displaystyle{ (34-b)b -240 = 0}\)
Klasyczne równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ (34-b)b -240 = - b ^{2} + 34b - 240= 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 34 ^{2} - 4 \cdot(-240) = 1156 - 960 = 196}\) czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \sqrt{196} = 14}\)
\(\displaystyle{ \Delta >0}\)
czyli mamy dwa rozwiązania
\(\displaystyle{ t _{1} = \frac{-34 - 14}{-2} = 24}\)
\(\displaystyle{ t _{2}= \frac{-34 +14}{-2} =10}\)
Założyliśmy, że \(\displaystyle{ a>b}\) czyli \(\displaystyle{ a = 24}\) i \(\displaystyle{ b=10}\)
Oznaczamy \(\displaystyle{ d}\) - przekątna
\(\displaystyle{ d= \sqrt{24 ^{2} + 10 ^{2} } = \sqrt{676} = 26}\)
Zajmijmy się teraz kątami
rozpatrujemy kąt prosty \(\displaystyle{ \sphericalangle ABC}\). Przekątna dzieli ten prostokąt na dwa kąty:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABD = \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sphericalangle DBC = \beta}\)
Na rysunku widzimy, że \(\displaystyle{ \beta > \alpha}\)
czyli \(\displaystyle{ tg \beta = \frac{a}{b}= \frac{24}{10}}\)
