Oblicz miary kątów ostrych

[DeathMan]

Witam.
Po pierwsze Wesołych Świąt wszystkim


A teraz do sedna sprawy:
Oblicz miary kątów ostrych \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\), wiedząc, że \(\displaystyle{ \sin \left( \alpha - \beta \right) = \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \cos \left( \alpha + \beta\right) = \frac{1}{2}}\).

Ja obliczyłem to tak:
\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha - \beta \right) = \cos \left( \alpha + \beta\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha * \cos \beta - \sin \beta * \cos \alpha = \cos \alpha * \cos \beta - \sin \alpha * \sin \beta}\)
I z tego mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \left( 90^\circ - \alpha\right)}\)
czyli \(\displaystyle{ \cos \alpha = \cos \left( 90^\circ - \alpha\right)}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \alpha = 90^\circ - \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 45^\circ}\)
i z tego mi wychodzi, że \(\displaystyle{ \beta = 15^\circ}\) bo \(\displaystyle{ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}}\), a \(\displaystyle{ \cos 60^\circ = \frac{1}{2}}\).


Teraz mam pytanie do was: można takim sposobem liczyć, a jeśli nie to podrzucie pomysł jak, bo chcę dobrze zrozumieć tą trygonometrię

[slawekstudia6]

proponuję układ równań
\(\displaystyle{ \sin \left( \alpha - \beta \right) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_0= \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ \alpha - \beta=\frac{\pi}{6}}\)

lub

\(\displaystyle{ \alpha - \beta=\frac{5\pi}{6}}\)

i
\(\displaystyle{ \cos \left( \alpha + \beta\right) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_0= \frac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ \alpha + \beta=\frac{\pi}{3}}\)

lub

\(\displaystyle{ \alpha + \beta=-\frac{\pi}{3}}\)

czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha - \beta=\frac{\pi}{6} \\ \alpha + \beta=\frac{\pi}{3} \end{cases}}\)

można układów stworzyć kilka ale nie będą w I ćwiartce