Nierówność trygonometryczna

[Jerzy_q]

Jak ładnie roznieść \(\displaystyle{ \sin x+\cos x<-1}\)?
Wiem, że trzeba podnieść do kwadratu i poskracać do \(\displaystyle{ \sin 2x}\), ale mam problem ze znakami i rozwiązanie wychodzi nie takie, jakie bym chciał.

[Lorek]

Jak się podnosi do kwadratu bez założeń to może potem wyjść coś innego niż powinno. Lepiej zrobić tak, że \(\displaystyle{ \sin x+\cos x}\) zwinąć do "jednej" funkcji.

[Jerzy_q]

No i tego właśnie za bardzo nie umiem

[Lorek]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x)=...}\)

[SzopenPL]

Witam

Mam pytanie czy można to zrobić w taki sposób:

\(\displaystyle{ sin x + cos x < -1 \\ sin x + sin (x+ \frac{\pi}{2} ) < -1 \\ 2 sin (x+ \frac{\pi}{4} ) cos (- \frac{\pi}{4}) < -1 \\ 2 sin (x+ \frac{\pi}{4})cos \frac{\pi}{4} < -1\\ sin (x+ \frac{\pi}{4} ) < -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Teraz analogicznie już podajemy rozwiązanie. Czy byłby to dobry sposób ?

[Lorek]

Jasne, że tak można. Tym co napisałem wyżej dojdzie się do czegoś podobnego.