Suma i różnica kątów dowolnych x,y

gitarzystaa · Post autor: **gitarzystaa** » 17 gru 2010, o 21:14

Witam!
Potrzebuję wyjaśnienia i obliczenia poniższych zadań, ponieważ mam strasznego nauczyciela z matematyki, który nie potrafi dużo wytłumaczyć.

zad. 1
Oblicz \(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta ), sin( \alpha - \beta ), cos( \alpha + \beta ), cos( \alpha - \beta )}\)

\(\displaystyle{ a) cos \alpha = \frac{-3}{4} ; \alpha \in ( 90^{o} ;180^{o}) ; cos \beta = \frac{5}{13} ; \beta \in (0^{o};90^{o})}\)

\(\displaystyle{ b) cos \alpha = \frac{1}{2} ; \alpha \in ( 0^{o} ;90^{o}) ; cos \beta = \frac{ \sqrt{3} }{2} ; \beta \in (180^{o};270^{o})}\)

zad. 2
Oblicz kąt na dwa sposoby.
\(\displaystyle{ cos75^{o}}\)

\(\displaystyle{ a) cos( 45^{o} +30^{o})}\)
tutaj to raczej tylko trzeba sprowadzić do wspólnego mianownika i dodać licznik.

\(\displaystyle{ b) cos ^{2} 75 ^{o} + sin ^{2} 75 ^{o} =1}\)
tu już niestety nie wiem ;/

Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 gru 2010, o 21:21

Masz wzory przecież na sinusy cosinusy takich sum. SKorzystaj z nich

gitarzystaa · Post autor: **gitarzystaa** » 17 gru 2010, o 21:26

Nawet wzory bez objaśnienia mi nic nie dadzą. Nie potrafię tego "ogarnąć" mieliśmy to dziś pierwszy raz..

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 gru 2010, o 21:27

Ale te wzory nie wymagają objaśnienia. Podstawiasz i Ci wychodzi. Serio

gitarzystaa · Post autor: **gitarzystaa** » 17 gru 2010, o 21:29

skoro wiesz to pokaż jak je podstawiasz.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 gru 2010, o 21:30

Pokaż ten wzór i powiedz, którego elementu nie rozumiesz nie umiesz wyznaczyć

gitarzystaa · Post autor: **gitarzystaa** » 17 gru 2010, o 21:42

\(\displaystyle{ sin(x+y)=sinx \cdot cosy+cosx \cdot siny}\)
\(\displaystyle{ sin(x-y)=sinx \cdot cosy-cosx \cdot siny}\)
\(\displaystyle{ cos(x+y)=cosx \cdot cosy-sinx \cdot siny}\)
\(\displaystyle{ cos(x-y)=cosx \cdot cosy+sinx \cdot siny}\)

całości,
mogę sobie załozyć że x to \(\displaystyle{ \alpha}\), a y \(\displaystyle{ \beta}\)
ale co dalej żeby to było adekwatne do zadania to nie wiem
możesz wyliczyć przykład a) lub b)?

edit:
w sumie doszedłem do czegoś takiego w przykładzie a) do \(\displaystyle{ sin(\alpha +\beta}\)
ale tylko po części

\(\displaystyle{ sin(\alpha +\beta)=?? \cdot \frac{5}{13} + \frac{-3}{4} \cdot ??}\)

w znaki zapytania nie wiem jak obliczyć wartości z tych przedziałów kątów sin i cos.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 gru 2010, o 21:47

I tutaj potrzebna jest tylko jedynka trygonometryczna

gitarzystaa · Post autor: **gitarzystaa** » 17 gru 2010, o 21:56

ok czyli coś takiego?

\(\displaystyle{ sin ^{2} = 1-cos ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha= {+ \choose -} \sqrt{ 1-cos ^{2} \alpha }}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha = \sqrt{1- \frac{9}{16} } = \frac{ \sqrt{7} }{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \beta = \sqrt{1- \frac{25}{169} } = \frac{12}{13}}\)

ok to tam podstawiłem i dało mi \(\displaystyle{ \frac{5 \sqrt{7} - 36}{52}}\)
teraz te same wartości trzeba odjąć
ale co mam zrobić przy
\(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )}\) i
\(\displaystyle{ cos( \alpha - \beta )}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 gru 2010, o 21:57

obliczeń nie sprawdzam. Sposób jest ok.

ale co mam zrobić przy
\(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )}\) i \(\displaystyle{ cos( \alpha - \beta )}\)

to samo. Podobne wzory są na to

gitarzystaa · Post autor: **gitarzystaa** » 17 gru 2010, o 22:12

Obliczeń nie trzeba już wiem o co chodzi
Ok to to dla cos
ma wyglądać tak?

Obliczone wartości
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{ \sqrt{7} }{4}}\)
\(\displaystyle{ sin \beta = \frac{12}{13}}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{-3}{4}}\)
\(\displaystyle{ cos \beta = \frac{5}{13}}\)

przyjmuje do wzoru
\(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )=cos \alpha \cdot cos \beta -sin \alpha \cdot sin \beta}\)