obliczanie równania trygonometrycznego

[natimat]

Witam, jak wyznaczyć x z poniższego równania?

Dumam nad tym zadaniem, a efekt żaden

\(\displaystyle{ sinx= x^{3}-\pi x ^{2}}\)

zauważyłem, że \(\displaystyle{ x-\pi=-(\pi - x)}\) wiem odkrywcze...
ale ze wzorów redukcyjnych wiemy, że \(\displaystyle{ sinx=sin(\pi - x)}\)

wtedy po przekształceniach otrzymuje coś takiego:

\(\displaystyle{ \frac{sin(\pi-x)}{\pi-x}=-x ^{2}}\)

Tylko, że nie dał bym sobie głowy uciąć, że jestem bliżej jak dalej.
Może ktoś nie śpi?

Dzięki, pozdrawiam brać matematyczną

[kolorowe skarpetki]

Narysuj funkcję sinus i wielomian \(\displaystyle{ x^3- \pi x^2}\). Punkty przecięcia tych dwóch wykresów to rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sin x = x^3 - \pi x^2}\), tj. \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x= \pi}\).

[natimat]

Tak też dokładnie zrobiłem. Metoda całkiem dobra tak długo jak masz to szczęście, że miejsca przecięcia, które na oko wyczytuje się z wykresu po podstawieniu do równania, działają.
Mamy farta zarówno \(\displaystyle{ x=0}\) jak i \(\displaystyle{ x=\pi}\) pięknie działają.

Jednak po zbadaniu pochodnej obu funkcji w przedziale \(\displaystyle{ x \in \left( - \infty ;0\right)}\) i ustaleniu, że punkt \(\displaystyle{ \left( 0;0\right)}\) jest punktem przegięcia funkcji \(\displaystyle{ g \left( x\right) =x ^{3}-\pi x^{2}}\) okazuje się, że funkcje przecinają się jeszcze raz w tym przedziale i można strzelać do końca życia co to za x, i się go nie ustrzeli...
Program zapowiedział, że na pewno jest to ta przyjemna liczba \(\displaystyle{ x \approx -0.2876093043497936003701273035...}\)

Szukam rozwiązania rachunkowego, aby o ile to wykonalne obejść się bez wujka WloframaAlpha
(chyba wszyscy znacie )
Ręka mojej córki (jak będę miał) dla matematolga, który to obliczy
Pozdrowienia

[deb]

Tak sobie myślę może by zapisać funkcję sinus jako szereg i coś z tym pokombinować

\(\displaystyle{ sinx=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}\)

[natimat]

uuu, brzmi mądrze
no spróbuję, faktycznie, nie wpadłem na to, że funkcję sinus można zapisać w postaci szeregu.
Tylko niech mi ktoś powie jak uzyskać jakiś wynik dzieląc ten szereg przez \(\displaystyle{ \left( x-\pi\right)}\) skoro ma nieskończoną ilość wyrazów hehe

[deb]

\(\displaystyle{ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... =x ^{3}-\pi x^{2}}\)

\(\displaystyle{ -x ^{3}+\pi x^{2}+(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... ) =0}\)

\(\displaystyle{ x[-x ^{2}+\pi x+(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+... )] =0}\)

I mamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x=0}\) wiemy jeszcze, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=\pi}\)

Czyli ten wielomian, który otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ W(x)=-x ^{2}+\pi x+(1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+...)}\)

musi być podzielny przez \(\displaystyle{ (x-\pi)}\)

Wykonałem to dzielenie i jeżeli się nie pomyliłem to

\(\displaystyle{ W(x)=(x-\pi)(-x-\frac{x}{3!}-\frac{\pi}{3!}+\frac{x^3}{5!}+\frac{x^2\pi}{5!}+\frac{x\pi^2}{5!}+\frac{\pi^3}{5!}-\frac{x^6}{7!}-\frac{x^5\pi}{7!}-...)}\)

Czyli następny szereg...
Mam nadzieję, że jesteśmy już bliżej rozwiązania