Równanie trygonometryczne

[Alpha_PL]

Korzystając z wzorów \(\displaystyle{ sin2x=2sinxcosx}\) oraz \(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x}\)

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^{2}x}}\)


Po przekształceniach z użyciem obydwu wzorów wyszło mi:

\(\displaystyle{ tg2x=\frac{sin2x}{cos2x}}\)

Więc jest to równanie tożsamościowe, x \(\displaystyle{ \in}\) R tylko mianownik nie może być równy 0.

Więc:

\(\displaystyle{ cos2x \neq 0}\)
0 występuje w cos bx co \(\displaystyle{ \pi/b}\) czyli okres=\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}*k}\)

Zaś w odpowiedziach jest :

\(\displaystyle{ x\neq\frac{\pi}{2}+\pi*k}\)

Gdzie k \(\displaystyle{ \in}\) C.


Co robię źle?

[gosia19]

Masz dobrze, może w odpowiedziach źle sprawdziłeś

[piasek101]

Masz dobrze, może w odpowiedziach źle sprawdziłeś

Chyba nie.

Dziedzinę ustalałbym wyjsciowego - szczegół.

Coś pomieszałeś z okresem bo to \(\displaystyle{ 2\pi:2}\)

[edit] Moja wina - ja źle podaję - nie tak spojrzałem na kosinusa.

Looknę jeszcze na tą dziedzinę z wyjściowego.

[edit1] Czyli nie szczegół - z wyjsciowego jest tak jak podają w odpowiedzi.

[gosia19]

Nie wiem, może ja czegoś nie widzę, ale dla mnie z wyjściowego:
\(\displaystyle{ 1-tg^2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k}\)
Może się mylę, z chęcią się dowiem jak to powinno być zrobione

[piasek101]

\(\displaystyle{ tg^2x\neq 1}\) czyli

\(\displaystyle{ tgx\neq 1}\) jak również \(\displaystyle{ tgx\neq -1}\)

[edit] Przepraszam za zamieszanie - ale pomyliłem odpowiedź autora z tą z książki - jest tak jak Ty piszesz - czyli w książce jest źle.