udowodnij że równanie ma 3 pierwiastki w podanym przedziale.

[ppami]

Witam!!
Mam do udowodnienia że \(\displaystyle{ sin(x)= \frac{1}{2} x}\) ma w przedziale \(\displaystyle{ <-2, 2>}\) trzy pierwiastki.

Wiem, że mam zbadać znak pierwszej pochodnej.
Tak, więc mam:
\(\displaystyle{ f'(x)=cos(x)- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ f'(x)>0 \ dla x \in \left( \frac{ -\pi }{3} + \frac{4}{3} k \pi ; \frac{ \pi }{3} + \frac{4}{3} k \pi\right)}\)

oraz

\(\displaystyle{ f'(x)<0 \ dla x \in \left( \frac{ \pi }{3} + \frac{4}{3} k \pi ; \frac{ 5 \pi }{3} + \frac{4}{3} k \pi\right)}\)


i nie wiem jak to związać z przedziałem \(\displaystyle{ <-2, 2>}\)??

[miodzio1988]

A nie lepiej skorzystaj z twierdzenia Darboux ?

[ppami]

i mam sobie dowolnie wybrać 2 punkty między <-2,2> ?
np:

\(\displaystyle{ f(-2)=sin(-2)+1>0}\)
\(\displaystyle{ f(-1)=sin(-1)+0.5<0}\)
f.malejąca;

\(\displaystyle{ f(-1)=sin(-1)+0.5<0}\)
\(\displaystyle{ f(1)=sin(1)-0.5>0}\)
f. rosnąca;

\(\displaystyle{ f(1)=sin(1)-0.5>0}\)
\(\displaystyle{ f(2)=sin(2)-1<0}\)
f. malejąca;

i f(x) jest funkcją ciągłą
na mocy Tw. Darboux równanie \(\displaystyle{ sin(x)=0.5x}\) ma trzy pierwiastki

prościej... mam nadzieje że dobrze zinterpretowałam

[miodzio1988]

Jeśli nierówności się zgadzają (nie sprawdzam) No to jest ok