Rozwiąż równanie

[yoana91]

a) \(\displaystyle{ arcsin x = 2 arccos \sqrt{1-x}}\)

Wyznaczyłam dziedzinę: \(\displaystyle{ x \in <0;1>}\)

Zaczęłam rozwiązywać w ten sposób:

\(\displaystyle{ arcsin x = \alpha}\)
\(\displaystyle{ \alpha \in <- \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha =x}\)

\(\displaystyle{ arccos \sqrt{1-x} = \beta}\)
\(\displaystyle{ \beta \in <0; \pi}\)
\(\displaystyle{ cos \beta = \sqrt{1-x}}\)

\(\displaystyle{ sin \alpha =2cos \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha =2 \beta}\)

czy to jest dobrze i jak dalej to pociągnąć?


b) \(\displaystyle{ arctan(x^2+1)=arctan \frac{1}{2x^2}}\)

robiąc analogicznie do a) wyszło mi, że

\(\displaystyle{ tan \alpha =tan \beta}\)
\(\displaystyle{ x^2+1= \frac{1}{2x^2}}\)

\(\displaystyle{ x= \sqrt{-1+ \sqrt{3} } \vee x=- \sqrt{-1+ \sqrt{3} }}\)

czy to jest ostateczna odp?

[niebieskooki]

Ad a)
Lepiej skorzystać z zależności:
\(\displaystyle{ arcsin x+arccos x = \frac{ \pi }{2}}\)
Ad b)
Tak to jest prawdziwe: \(\displaystyle{ tgxarctgx=tgx}\)
Tylko jeszcze dziedzinę musisz określić w drugim przykładzie.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ D \in R-\left\{ 0\right\}}\)

[yoana91]

Ad a)
Lepiej skorzystać z zależności:
\(\displaystyle{ arcsin x+arccos x = \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ arcsinx= \frac{/pi}{2}-arccosx}\)

\(\displaystyle{ arccosx+2arccos \sqrt{1-x}= \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ arccosx= \alpha}\)
\(\displaystyle{ arccos \sqrt{1-x}= \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha , \beta \in (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} )}\)

\(\displaystyle{ \alpha +2 \beta = \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin( \alpha +2 \beta)=1}\)

co z tym dalej zrobić?
wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \alpha , \beta}\) nie mieszczą sie w przedziale \(\displaystyle{ (- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} )}\), prawda?

Ad b)
Tak to jest prawdziwe: \(\displaystyle{ tgxarctgx=tgx}\)
Tylko jeszcze dziedzinę musisz określić w drugim przykładzie.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ D \in R-\left\{ 0\right\}}\)

w porządku:)-- 5 gru 2010, o 14:44 --proszę jeszcze o pomoc z podpunktem a)