Wykaż prawdziwość nierówności trygonometrycznej.

Monsters · Post autor: **Monsters** » 2 gru 2010, o 11:14

\(\displaystyle{ cos( \alpha + \beta )cos( \alpha - \beta ) \le 1}\)

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 2 gru 2010, o 11:41

mnozymy stronami przez 2: \(\displaystyle{ 2cos( \alpha + \beta )cos( \alpha - \beta ) \le 2}\). zauważamy, że: \(\displaystyle{ \alpha=\frac{2\alpha}{2}, \beta=\frac{2\beta}{2}}\). podstawiamy i otrzymujemy: \(\displaystyle{ 2\cos\frac{2\alpha + 2\beta}{2}\cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} \le 2}\), zauważamy, że po lewej stoi po prostu \(\displaystyle{ \cos 2\alpha+\cos 2\beta}\), czyli \(\displaystyle{ \cos 2\alpha+\cos 2\beta\le 2}\), co jest prawdą.