bolicz wartość parametru m dla którego zachodzi równanie

[szolmaster]

dla jakich warości parametru m (m należy do R) równanie \(\displaystyle{ sin ^{6} x + cos ^{6} x = m}\) ma rozwiązanie? mam odpowiedź ale nie wiem jak rozwiązać (m należy \(\displaystyle{ <\frac{1}{4} ; 1>}\))

[lukasz1804]

Innymi słowy wystarczy znaleźć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ y=\sin^6x+\cos^6x}\). Mamy jednak \(\displaystyle{ y=(\sin^2x)^3+(\cos^2x)^3=(\sin^2x+\cos^2x)[(\sin^2x)^2-\sin^2x\cos^2x+(\cos^2x)^2]=\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-3\sin^2x\cos^2x=1-\frac{3}{4}\sin^22x}\). Ponadto jest \(\displaystyle{ -1\le\sin 2x\le 1 \implies 0\le\sin^22x\le 1 \implies -\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}\sin^22x\le 0 \implies \frac{1}{4}\le 1-\frac{3}{4}\sin^22x\le 1}\), co kończy rozumowanie.