Trudna nierówność trygonometryczna

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Brzezin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 152 razy

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Brzezin »

\(\displaystyle{ \cos x+\tg x \le 1 + \sin x}\)
Chodzę do \(\displaystyle{ \cos x(\cos x-1)(\cos x-\sin x) \le 0}\) i zastanawiam się co dalej. Liczenie 4 warunków to chyba nie najlepszy pomysł.

Proszę o pomoc. Dzięki.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2010, o 16:38 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
trojan92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 7 lis 2010, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnobrzeg
Pomógł: 1 raz

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: trojan92 »

Wyrażenie \(\displaystyle{ \cos x - 1}\) jest zawsze mniejsze lub równe zero. Wtedy zostają Ci już tylko 2 warunki.
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Brzezin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 260
Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 152 razy

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Brzezin »

Jeszcze jedna nierówność
\(\displaystyle{ \cos ^2x+\cos ^3x+\cos ^4x+...<1+\cos x}\)
Doszedłem z szeregu geometrycznego do:

\(\displaystyle{ \frac{1-\cos ^nx}{1-\cos x}<2+2\cos x \\}\)

gdzie \(\displaystyle{ 1-\cos x \neq 0}\)
Proszę o podpowiedź
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Crizz »

Skąd wziął się taki wynik? Co oznacza \(\displaystyle{ n}\)?

To jest nieskończony szereg geometryczny, skorzystaj ze wzoru na jego sumę (jaki przypadek trzeba rozważyć osobno?).
sylwia94z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 19 lut 2014, o 10:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: sylwia94z »

Ktoś wie jak rozwiązać tę nierówność dwa posty wyżej?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

A z czym masz problem? Wskazówka:
Crizz pisze:To jest nieskończony szereg geometryczny, skorzystaj ze wzoru na jego sumę (jaki przypadek trzeba rozważyć osobno?).
jest dość jasna.

JK
sylwia94z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 19 lut 2014, o 10:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: sylwia94z »

Mam przekształcone do postaci:
\(\displaystyle{ (2\cos ^{2} x-1)(1-\cos x) \ge 0}\)
i nie wiem jak ma być dalej
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x= \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\)
a jak zaznaczyć na osi?
Jaka ma być odpowiedź?
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

Po pierwsze, nierówność na pewno nie jest słaba, zwrot też coś nie taki.
Po drugie, potrzebne jest założenie.
Po trzecie, przy tym założeniu \(\displaystyle{ 1-\cos x>0}\), co upraszcza nierówność.
Po czwarte, jak już uprościsz, to dostajesz nierówność kwadratową.

JK
sylwia94z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 19 lut 2014, o 10:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: sylwia94z »

Takie jest zadanie:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+\cos ^{3}x +\cos ^{4}x+... \ge 1+\cos x}\)
Podstawiłam wzór na sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos^{2}x }{1-\cos x} \ge 1+\cos x}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

No to jest inne zadanie, o czym nie raczyłaś wspomnieć.

Nie zmienia to faktu, że uwagi 2-4 pozostają w mocy.

JK
sylwia94z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 19 lut 2014, o 10:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: sylwia94z »

Założenie:
\(\displaystyle{ | \cos x |<1 \\
x \neq 2k \pi \\
x \neq \pi +2k \pi}\)


A tę parabolę to szkicuję w górę czy w dół?
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

sylwia94z pisze:Założenie:
\(\displaystyle{ | \cos x |<1 \\
x \neq 2k \pi \\
x \neq \pi +2k \pi}\)
OK, czyli po prostu \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\).
sylwia94z pisze:A tę parabolę to szkicuję w górę czy w dół?
Napisz nierówność, wprowadź zmienną pomocniczą i normalnie rozwiąż nierówność kwadratową, potem zrób podstawienie zwrotne i rozwiąż otrzymane nierówności trygonometryczne.

JK
sylwia94z
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 19 lut 2014, o 10:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: sylwia94z »

\(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \pi \right) \cup \left( k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right\rangle}\)
taka ma być odpowiedź?

Rozumiem już czemu założenie to po prostu \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\).
Ale nie rozumiem czemu przy tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) jest \(\displaystyle{ k \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 23:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34129
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Trudna nierówność trygonometryczna

Post autor: Jan Kraszewski »

sylwia94z pisze:\(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \pi \right) \cup \left( k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right\rangle}\)
taka ma być odpowiedź?
Tak, choć dokładniej odpowiedź to

\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{k\in\ZZ}\left\langle- \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \pi \right) \cup \left( k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right\rangle.}\)
sylwia94z pisze:Ale nie rozumiem czemu przy tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) jest \(\displaystyle{ k \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
Skoro rozwiązałaś, to powinnaś wiedzieć, skąd wzięła się odpowiedź. Gdybyś wstawiła \(\displaystyle{ 2k \pi}\), to straciłabyś połowę rozwiązań (oczywiście musiałabyś wtedy wszystkie \(\displaystyle{ k\pi}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ 2k\pi}\), a nie tylko te "przy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)", bo inaczej zapis nie miałby sensu).

JK
ODPOWIEDZ