Trudna nierówność trygonometryczna
-
- Użytkownik
- Posty: 260
- Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 152 razy
Trudna nierówność trygonometryczna
\(\displaystyle{ \cos x+\tg x \le 1 + \sin x}\)
Chodzę do \(\displaystyle{ \cos x(\cos x-1)(\cos x-\sin x) \le 0}\) i zastanawiam się co dalej. Liczenie 4 warunków to chyba nie najlepszy pomysł.
Proszę o pomoc. Dzięki.
Chodzę do \(\displaystyle{ \cos x(\cos x-1)(\cos x-\sin x) \le 0}\) i zastanawiam się co dalej. Liczenie 4 warunków to chyba nie najlepszy pomysł.
Proszę o pomoc. Dzięki.
Ostatnio zmieniony 27 lis 2010, o 16:38 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 7 lis 2010, o 12:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnobrzeg
- Pomógł: 1 raz
Trudna nierówność trygonometryczna
Wyrażenie \(\displaystyle{ \cos x - 1}\) jest zawsze mniejsze lub równe zero. Wtedy zostają Ci już tylko 2 warunki.
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 260
- Rejestracja: 9 paź 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 152 razy
Trudna nierówność trygonometryczna
Jeszcze jedna nierówność
\(\displaystyle{ \cos ^2x+\cos ^3x+\cos ^4x+...<1+\cos x}\)
Doszedłem z szeregu geometrycznego do:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos ^nx}{1-\cos x}<2+2\cos x \\}\)
gdzie \(\displaystyle{ 1-\cos x \neq 0}\)
Proszę o podpowiedź
\(\displaystyle{ \cos ^2x+\cos ^3x+\cos ^4x+...<1+\cos x}\)
Doszedłem z szeregu geometrycznego do:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos ^nx}{1-\cos x}<2+2\cos x \\}\)
gdzie \(\displaystyle{ 1-\cos x \neq 0}\)
Proszę o podpowiedź
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Trudna nierówność trygonometryczna
Skąd wziął się taki wynik? Co oznacza \(\displaystyle{ n}\)?
To jest nieskończony szereg geometryczny, skorzystaj ze wzoru na jego sumę (jaki przypadek trzeba rozważyć osobno?).
To jest nieskończony szereg geometryczny, skorzystaj ze wzoru na jego sumę (jaki przypadek trzeba rozważyć osobno?).
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Trudna nierówność trygonometryczna
A z czym masz problem? Wskazówka:
JK
jest dość jasna.Crizz pisze:To jest nieskończony szereg geometryczny, skorzystaj ze wzoru na jego sumę (jaki przypadek trzeba rozważyć osobno?).
JK
Trudna nierówność trygonometryczna
Mam przekształcone do postaci:
\(\displaystyle{ (2\cos ^{2} x-1)(1-\cos x) \ge 0}\)
i nie wiem jak ma być dalej
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x= \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\)
a jak zaznaczyć na osi?
Jaka ma być odpowiedź?
\(\displaystyle{ (2\cos ^{2} x-1)(1-\cos x) \ge 0}\)
i nie wiem jak ma być dalej
\(\displaystyle{ \cos ^{2} x= \frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=1}\)
a jak zaznaczyć na osi?
Jaka ma być odpowiedź?
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
Po pierwsze, nierówność na pewno nie jest słaba, zwrot też coś nie taki.
Po drugie, potrzebne jest założenie.
Po trzecie, przy tym założeniu \(\displaystyle{ 1-\cos x>0}\), co upraszcza nierówność.
Po czwarte, jak już uprościsz, to dostajesz nierówność kwadratową.
JK
Po drugie, potrzebne jest założenie.
Po trzecie, przy tym założeniu \(\displaystyle{ 1-\cos x>0}\), co upraszcza nierówność.
Po czwarte, jak już uprościsz, to dostajesz nierówność kwadratową.
JK
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
Takie jest zadanie:
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+\cos ^{3}x +\cos ^{4}x+... \ge 1+\cos x}\)
Podstawiłam wzór na sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos^{2}x }{1-\cos x} \ge 1+\cos x}\)
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+\cos ^{3}x +\cos ^{4}x+... \ge 1+\cos x}\)
Podstawiłam wzór na sumę szeregu:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos^{2}x }{1-\cos x} \ge 1+\cos x}\)
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
No to jest inne zadanie, o czym nie raczyłaś wspomnieć.
Nie zmienia to faktu, że uwagi 2-4 pozostają w mocy.
JK
Nie zmienia to faktu, że uwagi 2-4 pozostają w mocy.
JK
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
Założenie:
\(\displaystyle{ | \cos x |<1 \\
x \neq 2k \pi \\
x \neq \pi +2k \pi}\)
A tę parabolę to szkicuję w górę czy w dół?
\(\displaystyle{ | \cos x |<1 \\
x \neq 2k \pi \\
x \neq \pi +2k \pi}\)
A tę parabolę to szkicuję w górę czy w dół?
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
OK, czyli po prostu \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\).sylwia94z pisze:Założenie:
\(\displaystyle{ | \cos x |<1 \\
x \neq 2k \pi \\
x \neq \pi +2k \pi}\)
Napisz nierówność, wprowadź zmienną pomocniczą i normalnie rozwiąż nierówność kwadratową, potem zrób podstawienie zwrotne i rozwiąż otrzymane nierówności trygonometryczne.sylwia94z pisze:A tę parabolę to szkicuję w górę czy w dół?
JK
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
\(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \pi \right) \cup \left( k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right\rangle}\)
taka ma być odpowiedź?
Rozumiem już czemu założenie to po prostu \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\).
Ale nie rozumiem czemu przy tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) jest \(\displaystyle{ k \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
taka ma być odpowiedź?
Rozumiem już czemu założenie to po prostu \(\displaystyle{ x \neq k \pi}\).
Ale nie rozumiem czemu przy tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) jest \(\displaystyle{ k \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
Ostatnio zmieniony 2 paź 2017, o 23:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34129
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Trudna nierówność trygonometryczna
Tak, choć dokładniej odpowiedź tosylwia94z pisze:\(\displaystyle{ x \in \left\langle- \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \pi \right) \cup \left( k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right\rangle}\)
taka ma być odpowiedź?
\(\displaystyle{ x \in \bigcup_{k\in\ZZ}\left\langle- \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \pi \right) \cup \left( k \pi ; \frac{ \pi }{4}+k \pi \right\rangle.}\)
Skoro rozwiązałaś, to powinnaś wiedzieć, skąd wzięła się odpowiedź. Gdybyś wstawiła \(\displaystyle{ 2k \pi}\), to straciłabyś połowę rozwiązań (oczywiście musiałabyś wtedy wszystkie \(\displaystyle{ k\pi}\) zastąpić przez \(\displaystyle{ 2k\pi}\), a nie tylko te "przy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)", bo inaczej zapis nie miałby sensu).sylwia94z pisze:Ale nie rozumiem czemu przy tym \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4}}\) jest \(\displaystyle{ k \pi}\) a nie \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
JK