Równanie trygonometryczne - sprawdzenie rozwiązania

[14f13]

\(\displaystyle{ \frac{sinx}{six - \frac{1}{2}} \ge \frac{1-sinx}{sinx + \frac{1}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{sinx(sinx + \frac{1}{2} - (1+sinx)(sinx - \frac{1}{2}))}{(sinx - \frac{1}{2})(sinx + \frac{1}{2})} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^2(x) + \frac{1}{2}sinx - sinx + \frac{1}{2} - sin^2(x) + \frac{1}{2}sinx}{(sinx - \frac{1}{2})(sinx + \frac{1}{2})} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2(sinx - \frac{1}{2})(sinx + \frac{1}{2})} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 2(sinx - \frac{1}{2})(sinx + \frac{1}{2})} \ge 0}\)

No i ta ostateczna postać nie jest poprawna, nawiązująć do wyników innych, pytanie, gdzie leży błąd?

I takie małe pytanie, funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ sinx}\) jest \(\displaystyle{ arcsinx}\) jeżeli \(\displaystyle{ x \in <-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}>}\), to co zrobić aby wyznaczyć funkcję odwrotną w przedziale \(\displaystyle{ <\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}>}\)?
update: to będzie \(\displaystyle{ arcsin(x - \pi)}\)?

[piasek101]

W drugiej linijce masz \(\displaystyle{ (1+sinx)}\) a winno być \(\displaystyle{ (1-sinx)}\) - i się posypało od tego momentu.

[Lorek]

Co do małego pytania to musisz sprowadzić argument sinusa do przedziału \(\displaystyle{ [-\frac{\pi}{2}.\frac{\pi}{2}]}\) i wtedy odwracać, np.:
\(\displaystyle{ \sin x=\sin (\pi -x)}\) i \(\displaystyle{ x\in [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}] \Rightarrow \pi -x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}\)

[14f13]

Dzięki za odpowiedzi, teraz mam w liczniku
\(\displaystyle{ 2sin^2x - sinx + \frac{1}{2}}\) i z tego mam zrobić \(\displaystyle{ sin^2x + \frac{1}{4}}\) ale to niemożliwe wręcz, więc pewnie gdzieś jest jeszcze błąd?

Co do f. odwrotnej to będzię jak napisałem \(\displaystyle{ arcsin(\pi - x)}\) tylko wtedy \(\displaystyle{ y \in <\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}>}\) czy już do tego przerobionego przedziału \(\displaystyle{ y \in <-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}>}\)?

[Lorek]

\(\displaystyle{ \arcsin (\pi - x)}\) jest określona tylko na przedziale \(\displaystyle{ [\pi -1,\pi +1]}\)
w tym przypadku funkcją odwrotną jest \(\displaystyle{ \pi -\arcsin x}\) określona na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) o wartościach z przedziału \(\displaystyle{ [\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]}\).

[14f13]

Dzięki bardzo, jeszcze tylko zapytam czy dobrze zrobiłem przykład:
\(\displaystyle{ \pi - arcsinx < \frac{3}{4}\pi\\-arcsinx < -\frac{\pi}{4}\\arcsinx > \frac{\pi}{4}\\x > sin\frac{\pi}{4}\\x>\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

[Lorek]

Jak jeszcze dodasz dziedzinę to będzie ok.

[14f13]

Zgadza się, zapomniałem, dzięki jeszcze raz.