3 przykłady

[ja_czyli_kluska]

1. Rozwiąż równania

\(\displaystyle{ sin^{2}x-8sinxcosx+7cos^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ 4sin(\pi x)=4x^{2}-4x+5}\)

2. Wyznacz zbiór wartości funkcji

\(\displaystyle{ f(x)=-sin^{2}x+4sinx+12}\)

[qsiarz]

pierwsze ze wzoru skroconego mnozenia i zostanie suma kwadratow, jeden z cosinusem i sinusem, a drugi z samym cosinusem, wiec tamten cosinux musi miec taki kat aby przyjac wartosc zero i na podstawie tego wyznaczasz sinusa.

[Lorek]

Ja w pierwszym nie widzę wsm, ale może mam słaby wzrok
2
\(\displaystyle{ 4\sin(\pi x)=4x^2-4x+5\\4x^2-4x+5\geq 4 \:\wedge\:\4\sin(\pi x) }\)
Czyli równość zachodzi wtw
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}4x^2-4x+5=4\\4\sin(\pi x)=4\end{array}}\)
3.
\(\displaystyle{ -\sin x+4\sin x+12=-(\sin x-4\sin x+4)+16=-(\sin x+2)^2+16}\)
i teraz korzystasz z tego, że
\(\displaystyle{ \sin x\in}\)

[ja_czyli_kluska]

no wlasnie. ja tez w pierwszym nie widze zadnego wzoru skroconego mnozenia. co prawda moznaby to rozbic na:
\(\displaystyle{ (sinx-7cosx)(sinx-cosx)}\) ale co dalej???

[Lorek]

No jak to co?
\(\displaystyle{ \sin x-\cos x=0\:\vee\:\sin x -7\cos x=0\\\sin x=\cos x\:\vee\:\sin x=7\cos x}\)
i tu możesz skorzystać z
\(\displaystyle{ \sin^2 x+\cos^2 x=1}\)

[qsiarz]

\(\displaystyle{ sin^{2}x-8sinxcosx+7cos^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x-8sinxcosx+16cos^{2}x-9cos^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ (sinx-4cosx)^{2}-9cos^{2}x=0}\)
\(\displaystyle{ (sinx-4cosx+3cosx)(sinx-4cosx-3cosx)=0}\)
\(\displaystyle{ (sinx-cosx)(sinx-7cosx)=0}\)

\(\displaystyle{ sinx=cosx}\) lub \(\displaystyle{ sinx=7cosx=0}\)

dalej to juz kombinuj z tymi plus k pi no o to mi chodzilo ;]

[ja_czyli_kluska]

hmm... dalej nie moge rozpracować tego zadania. mógłby ktoś je rozwiązać do końca???

[Lorek]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}\sin x=\cos x\\\sin^2 x+\cos^2 x=1\end{array}

\(2\cos^2 x=1

\(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\:\vee\:\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
Z tego Ci wyjdą 4 serie, a później trzeba sprawdzić, które z nich spełniają równanie \(\displaystyle{ \sin x=\cos x}\) (dlatego ten sposób jest taki trochę mało "elegancki", juz lepiej by było skorzystać ze wzoru na sumę funkcji). Podobnie dla \(\displaystyle{ \sin x=7\cos x}\), choć tutaj wynik będzie mniej ciekawy
btw. skąd masz te zadanie? Dziś robiliśmy identyczne na lekcji

[ja_czyli_kluska]

z pazdry :]