3 równiania

[Sinumator]

Prosiłbym o przedstawienie drogi rozumowania dla poniższych zadań.

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ sin(5x)+sin(x)=0}\)

Dla jakich m równanie posiada rozwiązanie:
\(\displaystyle{ sin(3x)-sin(\frac{\pi}{3}-3x)=m

\sqrt{3}sin(x)+cos(x)=m}\)

[Lady Tilly]

1)
\(\displaystyle{ sin(2x+3x)+sinx=0}\)

\(\displaystyle{ sin2xcos3x+cos2xsin3x+sinx=0}\)

\(\displaystyle{ 2sinxcos^{2}x(4cos^{2}x-3)+(1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x)sinx+sinx=0}\)

\(\displaystyle{ 2sinx(1-sin^{2}x)(1-4sin^{2}x)+(1-2sin^{2}x)(3-4sin^{2}x)sinx+sinx=0}\)

podstaw za \(\displaystyle{ sin^{2}x=t}\)

\(\displaystyle{ 16t^{2}-20t+6=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16}\)

\(\displaystyle{ t_{1}=\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ t_{2}=\frac{1}{4}}\) lub jeszcze \(\displaystyle{ sinx=0}\)

[Ecik88]

Nie jestem w 100% pewien rozwiązania:)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}sin(x)+cos(x)=m}\)
\(\displaystyle{ tg(\frac{\pi}{3})sin(x)+cos(x)=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin(\frac{\pi}{3})sin(x)}{cos(\frac{\pi}{3})}+cos(x)=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin(\frac{\pi}{3})sin(x)+cos(\frac{\pi}{3})cos(x)}{cos(\frac{\pi}{3})}=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{cos(\frac{\pi}{3})cos(x)+sin(\frac{\pi}{3})sin(x)}{cos(\frac{\pi}{3})}=m}\)
\(\displaystyle{ \frac{cos(\frac{\pi}{3}-x)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=m}\)
\(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{3}-x)=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\)
\(\displaystyle{ cos(\frac{\pi}{3}-x)\in}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}m\in}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}m\geq-1 \frac{\sqrt{3}}{2}m\leq1}\)
\(\displaystyle{ m\geq-\frac{2}{\sqrt{3}} m\leq\frac{2}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ m\in}\)
EDIT: Tak to jest, gdy się coś robi na szybkości;)

[Uzo]

\(\displaystyle{ \frac{cos(\frac{\pi}{3}-x)}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=m\\
cos(\frac{\pi}{3}-x)=\frac{2}{\sqrt{3}}m}\)

przemyśl to

[Sinumator]

Pozwolę sobie dopisać jeszcze 2 równania

\(\displaystyle{ 4(log_{2}cosx)^{2}+log_{2}(1+cos2x)=3

(1/2)^{(log^{2}_{\frac{1}{2}}sinx)}+(sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}=1}\)

Jak poprzednio proszę o przedstawienie drogi rozumowania.

[Kumek]

\(\displaystyle{ (1/2)^{(log^{2}_{\frac{1}{2}}sinx)}+(sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}=1}\)
\(\displaystyle{ (sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}+ (sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}=1}\)
\(\displaystyle{ 2(sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}=1}\)
\(\displaystyle{ (sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}=\frac{1}{2}}\)
logarytmujac obu stronnie przy podstawie 1/2 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}(sinx)^{log_{\frac{1}{2}}sinx}=log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}(sinx) * log_{\frac{1}{2}}(sinx)=1}\)
\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}(sinx)=t}\)
\(\displaystyle{ t^2=1}\) \(\displaystyle{ t=+/- 1}\)
\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}(sinx)=1 log_{\frac{1}{2}}(sinx)=-1}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{1}=sinx (\frac{1}{2})^{-1}=sinx}\)