znajdź funkcję odwrotną

[yoana91]

znajdź funkcję odwrotną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\arcsin (x ^{3}+7 )}\)

Zaczęłam robić w ten sposób:

\(\displaystyle{ D _{f}=-1 \le x ^{3} +7 \le 1}\)
\(\displaystyle{ x \ge -2 \wedge x \le - \sqrt[3]{6}}\)

\(\displaystyle{ x _{1},x _{2} \in D _{f}}\)
\(\displaystyle{ f(x _{1})=f(x _{2})}\)
\(\displaystyle{ \arcsin(x _{1} ^{3}+7 )=\arcsin(x _{2} ^{3}+7 )}\)
\(\displaystyle{ x _{1} ^{3}+7=x _{2} ^{3}+7}\)
\(\displaystyle{ x _{1} =x _{2}}\)

nie wiem jak teraz uporać się z tym odwróceniem.

[slawekstudia6]

jakoś nie czaję

nie lepiej tak:

\(\displaystyle{ y=\arcsin (x ^{3}+7 )}\)

\(\displaystyle{ \sin y=x ^{3}+7}\)

\(\displaystyle{ x ^{3}=\sin y-7}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{\sin y-7}}\)

czyli odwrotna to

\(\displaystyle{ y = \sqrt[3]{\sin x-7}}\)

[yoana91]

b) znajdź funkcję odwrotną:

\(\displaystyle{ f(x)=4+ \frac{1}{2} ^{-x ^{2} +4x-3}}\)
dla \(\displaystyle{ x>2}\)

robię w ten sposób:

\(\displaystyle{ y=4+ \frac{1}{2} ^{-x ^{2} +4x-3}}\)
\(\displaystyle{ y-4=\frac{1}{2} ^{-x ^{2} +4x-3}}\)
\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{2} }(y-4)+3=-x ^{2}+4x}\)
\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{2} }(y-4)+3=-x (x-4)}\)

jak wyznaczyć z tego x?

[slawekstudia6]

a postać kanoniczna

-- 8 sty 2011, o 12:46 --

\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{2} }(y-4)+3=-x ^{2}+4x}\)

\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{2} }(y-4)+3=-x ^{2}+4x-4+4}\)


\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{2} }(y-4)+3=-(x-2)^2+4}\)

\(\displaystyle{ -(x-2)^2+4=log _{ \frac{1}{2} }(y-4)+3}\)

\(\displaystyle{ -(x-2)^2=\log _{ \frac{1}{2} }(y-4)-1}\)

\(\displaystyle{ (x-2)^2=\log _{ 2}(y-4)+1}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{\log _{ 2}(y-4)+1} +2}\)
czyli

\(\displaystyle{ y= \sqrt{\log _{ 2}(x-4)+1} +2}\)

[yoana91]

jakbyś mógł mi wytłumaczyć jakim sposobem po wymnożeniu obu stron przez (-1) zmieniła się podstawa logarytmu, z góry dziękuję

jakbyś mógł mi wytłumaczyć jakim sposobem po wymnożeniu obu stron przez (-1) zmieniła się podstawa logarytmu, z góry dziękuję

polecenie b) to podać \(\displaystyle{ f ^{-1}(x)}\) (już zrobione \(\displaystyle{ \rightarrow f ^{-1}(x)= \sqrt{\log _{ 2}(x-4)+1} +2}\)), ale również \(\displaystyle{ f ^{-1}(f(x))}\), czy pod x w podanej już funkcji odwrotnej muszę podstawić f(x)?

[slawekstudia6]

wiesz

\(\displaystyle{ log_{ \frac{1}{2} }5=log_{ 2^{-1} }5=(-log_{ 2 }5)}\)

a co do zapisu twój wygląda ok