Tożsamość cyklometryczna

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 22 lis 2010, o 23:20

Wykaż, że:

\(\displaystyle{ \arctan 1 + \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3} = \frac{ \pi }{2}}\)

Jak to się robi?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 22 lis 2010, o 23:40

Najprościej to będzie wymnożyć liczby zespolone

\(\displaystyle{ \left( 1+i\right)\left( 2+i\right)\left( 3+i\right)}\)

i wziąć z tego argument

(Miałem to zadanie na algebrze i trzeba było w ten sposób to zrobić)

Jeśli nie chcesz / lub nie możesz korzystać z zespolonych to skorzystaj ze wzoru na sumę arcusów

\(\displaystyle{ \arctan{x}+\arctan{y}=\arctan{\left( \frac{x+y}{1-xy} \right) }}\)

kropka+ · Post autor: **kropka+** » 22 lis 2010, o 23:50

Dzięki wielkie

ordyh · Post autor: **ordyh** » 22 lis 2010, o 23:55

Wiemy, że \(\displaystyle{ \arctan 1 = \frac{\pi}{4}}\).
Niech:
\(\displaystyle{ \alpha = \arctan \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \beta = \arctan \frac{1}{3}}\)
czyli mamy do udowodnienia, że \(\displaystyle{ \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}}\)
I zróbmy sobie taki rysunek:

: AU; ico969.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 56 razy

Rozwiązanie jest to o ile się nie myle ze zbioru H. Pawłowskiego Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata, trygonometria.