obliczyć wartośc funkcji

[justynache23]

Obliczyć \(\displaystyle{ cos\left( 2 \alpha + \frac{5 \pi }{4} \right)}\) jeśli \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{2}{3}}\)

[sloth to the n power]

Obliczyć \(\displaystyle{ cos\left( 2 \alpha + \frac{5 \pi }{4} \right)}\) jeśli \(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ tg \alpha = \frac{2}{3} \ \Leftrightarrow \ ctg\alpha \ = \ \frac{3}{2} \ \Leftrightarrow \ \frac{3}{2} \ = \ \frac{\sqrt{1 \ - \ sin^{2}\alpha}}{sin\alpha} \ \Leftrightarrow \ \left( sin\alpha \ - \sqrt{\frac{4}{13}}\right) \left( sin\alpha \ + \sqrt{\frac{4}{13}} \right) \ = \ 0 \ \Leftrightarrow sin\alpha \ = \sqrt{\frac{4}{13}} \ \vee \ sin\alpha \ = \ - \sqrt{\frac{4}{13}}}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ cos^{2}\alpha \ = \ 1 \ - \ \left( \sqrt{\frac{4}{13}}\right)^{2} \ \vee \ cos^{2}\alpha \ = \ 1 \ - \ \left( -\sqrt{\frac{4}{13}}\right)^{2} \ \Leftrightarrow \ cos^{2}\alpha \ = \ \frac{9}{13} \ \Leftrightarrow \ \left( cos\alpha \ - \ \sqrt{\frac{9}{13}} \right)\left( cos\alpha \ + \ \sqrt{\frac{9}{13}} \right) \ = \ 0 \ \Leftrightarrow \ cos\alpha \ = \ \sqrt{\frac{9}{13}} \ \vee \ cos\alpha \ = \ -\sqrt{\frac{9}{13}}}\)

[justynache23]

\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{2}}{13} , \frac{4 \sqrt{2} }{13} , \frac{7 \sqrt{2} }{26} , \frac{5 \sqrt{2} }{26}}\), musi to być któraś z tych odpowiedzi. pozdrawiam.

[margas603]

Również poszukuję poprawnej odpowiedzi nq tego typu zadania wiec czy moze jednak komus udaloby sie rozwiazac w/w rownanie.

[Mariusz M]

margas603, korzystasz ze wzoru na cosinusa sumy
Następnie korzystasz ze wzorów redukcyjnych

\(\displaystyle{ \cos{2\alpha}}\) oraz \(\displaystyle{ \sin{2\alpha}}\)

wyliczasz ze wzorów na tangensa połowy kąta

\(\displaystyle{ =\cos{2\alpha}\cos{ \frac{5\pi}{4} }-\sin{2\alpha}\sin{ \frac{5\pi}{4} }\\
=-\cos{2\alpha}\cos{ \frac{\pi}{4} }+\sin{2\alpha}\sin{ \frac{\pi}{4} }\\
= \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( -\cos{2\alpha}+\sin{2\alpha}\right)\\
= \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( -\frac{1- \frac{4}{9} }{1+ \frac{4}{9} } + \frac{2 \cdot \frac{2}{3} }{1+ \frac{4}{9} } \right)\\
= \frac{ \sqrt{2} }{2}\left( \frac{ \frac{-5+12}{9} }{ \frac{13}{9} } \right)\\
= \frac{ \sqrt{2} }{2} \cdot \frac{7}{13}\\
= \frac{7 \sqrt{2} }{26}}\)