Oblicz i wyznacz kąt

[conseil]

Oblicz \(\displaystyle{ \sin2\alpha}\) i wyznacz kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), jeśli:
\(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{4}}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in (0; \frac{ \pi }{2})}\)

[sushi]

wskazówka
\(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cdot \cos x}\)

[sloth to the n power]

\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha \ = \ 1 \ -
\ (\frac{\sqrt{6} \ - \ \sqrt{2}}{4} )^{2} \ \Leftrightarrow \ sin2\alpha \ = \ {\frac{\sqrt{6} \ - \ \sqrt{2}}{2}\left( \sqrt{1 \ -
\ (\frac{\sqrt{6} \ - \ \sqrt{2}}{4})^{2} } \right) \Leftrightarrow \ sin2\alpha \ = \ ...}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ 2\alpha \ = \ ... \ \wedge \ 2\alpha \ \in \ \left( 0 \ ; \frac{\pi}{2 }\right)}\)

[piasek101]

Albo z trójkąta prostokatnego \(\displaystyle{ sin\alpha =\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}}\)

[conseil]

Dzięki za pomoc, jednak nie jestem przekonany do tych rozwiązań.
Z tego co widzę, sloth to the n power skorzystał ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1}\)
czyli chyba gdzieś po drodze zgubiłeś 2 tą przed \(\displaystyle{ cos^{2}\alpha}\)

sushi, co mi po tym wzorze? Dalej mam dwie niewiadome:
\(\displaystyle{ sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha \\
sin2\alpha = \frac{ \sqrt{6} - \sqrt{2} }{2} sin\alpha}\)

[sushi]

sinusa x policzysz z jedynki trygonometrycznej, bo masz podany cosinus x

[piasek101]

Albo z trójkąta prostokatnego \(\displaystyle{ sin\alpha =\frac{\sqrt 6+\sqrt 2}{4}}\)

Tego nie widziałeś ?

[sloth to the n power]

(...)
Z tego co widzę, sloth to the n power skorzystał ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha-1}\)
czyli chyba gdzieś po drodze zgubiłeś 2 tą przed \(\displaystyle{ cos^{2}\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha \ + \ sin^{2}\alpha \ = \ 1 \ \Leftrightarrow \ sin\alpha \ = \ \sqrt{1 \ - \ cos^{2}\alpha }}\)
\(\displaystyle{ sin2\alpha \ = \ 2sin\alpha \cdot cos\alpha \ \Leftrightarrow sin2\alpha \ = \ 2cos\alpha\sqrt{1 \ - \ cos^{2}\alpha}}\)