Wykazywanie tożsamości tygonometrycznej

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 15:52

Znowu mam problem z zadaniem : (

\(\displaystyle{ (cos\alpha-cos\beta)^2+(sin\alpha-sin\beta)^2=4sin^2 \frac{\alpha-\beta}{2}}\).

Z lewej strony wykorzystałem wzory skróconego mnożenia. Po redukcji i zauważeniu dwóch jedynek trygonometrycznych zostało mi:

\(\displaystyle{ 2-2cos\alpha*cos\beta-2sin\alpha*sin\beta=2(1-cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta)}\).

No i nie umiem nic zauważyć dalej. Proszę o pomoc bo chce to zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać : )
Wiem ze w kartach wzorów są gotowe zależności na \(\displaystyle{ cos\alpha-cos\beta}\) i \(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta}\) ale nie korzystamy z nich w szkole.

ares41 · Post autor: **ares41** » 17 lis 2010, o 15:57

\(\displaystyle{ 2-2\cos\alpha \cdot \cos\beta-2\sin\alpha \cdot \sin\beta=2(1-\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta)\\2-2\cos\alpha \cdot \cos\beta-2\sin\alpha \cdot \sin\beta=2-2\cos\alpha \cdot \cos\beta-2\sin\alpha \cdot \sin\beta\\2=2}\)

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 16:01

Przepraszam ale skąd to się wzięło? Czy prawa strona po przekształceniu jest też równa \(\displaystyle{ 2(1-cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta)}\)?

chozz · Post autor: **chozz** » 17 lis 2010, o 16:04

Jak to mawia moja pani od dupy strony zacząłeś!
Musisz przepisać to jakby od dołu. Bo wyszedłeś od czegoś co wcale nie musi być prawdziwe i doszedłeś do czegoś prawdziwego, więc idea jest taka żeby wyjść od czegoś prawdziwego i poprzez przekształcenia do czegoś dojść.. w tym wypadku do równania, które masz na wejście.

A tamto wzięło się z wymnożenia

ares41 · Post autor: **ares41** » 17 lis 2010, o 16:25

C@rn@ge pisze:Przepraszam ale skąd to się wzięło? Czy prawa strona po przekształceniu jest też równa \(\displaystyle{ 2(1-cos\alpha*cos\beta-sin\alpha*sin\beta)}\)?

Sorry, myślałem że do tego doszedłeś i chcesz to udowodnić

W takim razie mamy:
\(\displaystyle{ 2(1-\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta)=4\sin^2{ \frac{\alpha-\beta}{2} }\\1-\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta=2\sin^2{ \frac{\alpha-\beta}{2} }\\1-\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta=2\left(1-\cos^2{ \frac{\alpha-\beta}{2} }\right)\\1-\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta=2-2\cos^2{ \frac{\alpha-\beta}{2} }\\-\cos\alpha \cdot \cos\beta-\sin\alpha \cdot \sin\beta=1-2\cos^2{ \frac{\alpha-\beta}{2} }\\\cos\alpha \cdot \cos\beta+\sin\alpha \cdot \sin\beta=2\cos^2{ \frac{\alpha-\beta}{2} }-1\\}\)

Potem skorzystaj ze wzoru:
\(\displaystyle{ \cos^{2}{x}= \frac{1+\cos{2x}}{2}}\),
gdzie \(\displaystyle{ x= \frac{\alpha-\beta}{2}}\)

chozz pisze:Jak to mawia moja pani od dupy strony zacząłeś!
Musisz przepisać to jakby od dołu. Bo wyszedłeś od czegoś co wcale nie musi być prawdziwe i doszedłeś do czegoś prawdziwego, więc idea jest taka żeby wyjść od czegoś prawdziwego i poprzez przekształcenia do czegoś dojść.. w tym wypadku do równania, które masz na wejście.

Jeśli mamy czepiać się szczegółów to chozz ma rację. Powinieneś zacząć dowód od tył, tzn. napisać coś co jest zawsze (w określonej dziedzinie) prawdziwe i dojść do tego co masz wykazać.
Jednak nie raz wystarczy uzasadnić rozumowanie przekształceniami równoważnymi, co jest zaliczane na maturze.

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 16:52

Dobrze, już rozumiem. Ogromne dzięki : )

To może jeszcze poddacie pomysł na narysowanie tego oto wykresu funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=six*|sinx|+cosx*|cosx|}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 17 lis 2010, o 18:54

podziel sobie na 4 kawałki-> osobna dla I, II, III , IV cwiarki i pozbywaj sie wartosci bezwzglednej

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 19:14

No dobrze, a jak to mnożenie na wykresie ma wyglądać? . Tak więc proszę o dalsze wyjaśnienie : )

sushi · Post autor: **sushi** » 17 lis 2010, o 19:22

najpierw zapisz tutaj wyniki??

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 19:33

Tak, tylko co mam mnożyć? Bo właśnie tego nie wiem.

\(\displaystyle{ sinx*|sinx|}\)=? Czyli mam narysować sobie sinusoidę a następnie wartość bezwzględną z niej?Bo tak bym zrobił, czyli odbił wykres względem osi OY. Czy tak?
Nie czekam na gotowe rozwiązanie, kombinuje już długo i nie mogę otrzymać takiego wykresu jak w odpowiedzi. Naprawdę wielkie dzięki za chęć pomocy i poświęcony czas.

sushi · Post autor: **sushi** » 17 lis 2010, o 19:55

prosiłem Ciebie napisz przedzialy

0-90 stopni i wzor funkcji
90-180 stopni i wzor funkcji
180-270
...

na na grzyba robic po swojemu!!!

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 20:03

No to już pisze

I ćwiartka: 0-90 stopni

\(\displaystyle{ f(x)=sinx*sinx+cosx*cosx=sin^2x+cos^2x=1}\)

II ćwiartka: 90-180 stopni

\(\displaystyle{ f(x)=sinx*sinx+cosx*(-cosx)=sin^2x-cos^2x}\)

III ćwiartka: 180-270 stopni

\(\displaystyle{ f(x)=sinx*(-sinx)+cosx*(-cosx)=-sin^2x-cos^2x=-1}\)

IV ćwiartka: 270-360 stopni

\(\displaystyle{ f(x)=sinx*(-sinx)+cosx*cosx=-sin^2x+cos^2x}\)

sushi · Post autor: **sushi** » 17 lis 2010, o 20:48

dla drugiej cwiartki
\(\displaystyle{ \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin ^2 x)= - \cos 2x}\)

dla czwartej cwiartki

\(\displaystyle{ \cos 2x}\)

a to umiesz juz narysowac

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 17 lis 2010, o 21:05

Tak, wszystko pięknie wyszło. Bardzo serdecznie dziękuje. Pozdrawiam : )