Wyznacz x z funkcji y

[nUmer]

Dobry wieczór.

Polecenie do zadania brzmi: wyznacz x z funkcji y
\(\displaystyle{ y=arcsin^2(1-lnx)}\)

Ja liczę w ten sposób - proszę skorygować jeśli jest niepoprawny

\(\displaystyle{ y=arcsin^2(1-lnx)|sin}\)

\(\displaystyle{ sin^2y=1-lnx}\)

\(\displaystyle{ sin^2y-1=-lnx|-1}\)

\(\displaystyle{ 1-sin^2y=lnx|e^0}\)

\(\displaystyle{ e^{1-sin^2y}=x}\)

\(\displaystyle{ x=e^{1- \frac{1-cos2y}{2} }}\)

\(\displaystyle{ x=e^{\frac{1-cos2y}{2} }}\)

[matmi]

Wszystko zależy od tego jak rozumiemy zapis \(\displaystyle{ arcsin^2(1-lnx)}\). Czy to jest złożenie dwukrotne funkcji \(\displaystyle{ \arcsin}\) czy \(\displaystyle{ (\arcsin)^2}\)? JEST RÓŻNICA!

[nUmer]

Raczej złożenie dwukrotne.
Przepisałem poprawnie treść zadania, więcej nie potrafię podpowiedzieć. Przypuszczam, że w przypadku dwukrotnego złożenia moje wyliczenie będzie błędne?

[matmi]

Więc jeżeli to jest złożenie to jest poprawnie, ale bez dwóch ostatnich linijek! Zauważ, że później potraktowałeś tą dwójkę jako kwadrat i stąd uproszczenia których być nie powinno!

[ordyh]

Ale zwykle przy funkcjach takich jak sin,cos,tg,ctg,arc..., log, dwójka w wykładniku oznacza podniesienie do kwadratu, tak jak np. \(\displaystyle{ \sin^2x + \cos^2x = 1}\)

[nUmer]

faktyczy - uwaga jak najbardziej właściwa. W przypadku tożsamości trygonometrycznych mówimy o kwadracie.

Mam jedynie pytanie - czy \(\displaystyle{ arcsin^2}\) zostanie "zabity" przez sinusa, czy musi to być \(\displaystyle{ sin^2}\)?

Prosiłbym o wykazanie, ponieważ nie jestem najlepszy w składaniu funkcji - przykład posłuży mi za wzorcowy do dalszej nauki.

[matmi]

\(\displaystyle{ arcsin^2=arcsin\circ arcsin}\)
\(\displaystyle{ arcsin=sin^{-1}}\) funkcja odwrotna do sinusa
\(\displaystyle{ arcsin^2=arcsin\circ arcsin=sin^{-1}\circ sin^{-1}}\) obkładamy sinusem
\(\displaystyle{ sin\circ (sin^{-1}\circ sin^{-1})=(sin\circ sin^{-1})\circ sin^{-1}=id\circ sin^{-1}=sin^{-1}}\)

Potrzebujemy zatem \(\displaystyle{ sin^2=sin\circ sin.}\)

[nUmer]

Pięknie dziękuję