Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Marshall32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 1 raz

Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Post autor: Marshall32 »

Witam,
Zastanawiam się skąd wzięły się wartości funkcji trygonometryczne? Jak można wyliczyć te wartości, które są w tablicy trygonometrycznej, albo np. wartość funkcji trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}}\)? dlaczego jest to równe \(\displaystyle{ \frac12}\)?
Ostatnio zmieniony 13 lis 2010, o 20:39 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10365
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Post autor: Chromosom »


chocby definicja za pomoca trojkata prostokatnego - narysuj sobie polowke trojkata rownobocznego
szw1710

Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Post autor: szw1710 »

Najpierw określa się funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i tak robili starożytni Grecy. Więc okazuje się, że jeśli zbudujesz trójkąt prostokątny o równych przyprostokątnych, to oczywiście otrzymasz kąt ostry 45 stopni, którego wartości funkcji trygonometrycznych są takie, jakie są i wyznaczamy je z trójkąta. Jeśli zbudujesz inny trójkąt prostokątny taki, że krótsza przyprostokątna jest swa razy krótsza od przeciwprostokątnej, to okaże się, że przeciwległy jej kąt ostry ma 30 stopni (dokładnie stanowi trzecią część kąta prostego), a jego sinus to właśnie 1/2. Taki trójkąt łatwo skonstruować: jest "połową" trójkąta równobocznego.

Więc motywację do takich a nie innych wartości widzę właśnie w trójkątach prostokątnych.
Marshall32
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 1 raz

Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Post autor: Marshall32 »

Dziękuję za odpowiedź, jednak narodziło się kolejne pytanie jak obliczono że przekątna kwadrata to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) a wysokość trójkąta równobocznego to \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Post autor: Dasio11 »

Wprost z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ d^2=a^2+a^2=2a^2 \\
d=\sqrt{d^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \\ \\ \\
h^2+\left( \frac{1}{2}a \right)^2=a^2 \\ \\
h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{4}a^2 \\ \\
h=\sqrt{a^2}=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}=a\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
szw1710

Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?

Post autor: szw1710 »

To, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, wykazali Pitagorejczycy. Wcześniej wierzyli oni, że wszystkie wielkości są współmierne (co - na jedno wychodzi - że wszystkie liczby są wymierne). Załamało to ich szkołę.
ODPOWIEDZ