Witam,
Zastanawiam się skąd wzięły się wartości funkcji trygonometryczne? Jak można wyliczyć te wartości, które są w tablicy trygonometrycznej, albo np. wartość funkcji trygonometrycznej \(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}}\)? dlaczego jest to równe \(\displaystyle{ \frac12}\)?
Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?
Ostatnio zmieniony 13 lis 2010, o 20:39 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?
Najpierw określa się funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym i tak robili starożytni Grecy. Więc okazuje się, że jeśli zbudujesz trójkąt prostokątny o równych przyprostokątnych, to oczywiście otrzymasz kąt ostry 45 stopni, którego wartości funkcji trygonometrycznych są takie, jakie są i wyznaczamy je z trójkąta. Jeśli zbudujesz inny trójkąt prostokątny taki, że krótsza przyprostokątna jest swa razy krótsza od przeciwprostokątnej, to okaże się, że przeciwległy jej kąt ostry ma 30 stopni (dokładnie stanowi trzecią część kąta prostego), a jego sinus to właśnie 1/2. Taki trójkąt łatwo skonstruować: jest "połową" trójkąta równobocznego.
Więc motywację do takich a nie innych wartości widzę właśnie w trójkątach prostokątnych.
Więc motywację do takich a nie innych wartości widzę właśnie w trójkątach prostokątnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 87 razy
- Pomógł: 1 raz
Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?
Dziękuję za odpowiedź, jednak narodziło się kolejne pytanie jak obliczono że przekątna kwadrata to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\) a wysokość trójkąta równobocznego to \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?
Wprost z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ d^2=a^2+a^2=2a^2 \\
d=\sqrt{d^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \\ \\ \\
h^2+\left( \frac{1}{2}a \right)^2=a^2 \\ \\
h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{4}a^2 \\ \\
h=\sqrt{a^2}=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}=a\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ d^2=a^2+a^2=2a^2 \\
d=\sqrt{d^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2} \\ \\ \\
h^2+\left( \frac{1}{2}a \right)^2=a^2 \\ \\
h^2=a^2-\frac{1}{4}a^2=\frac{3}{4}a^2 \\ \\
h=\sqrt{a^2}=\sqrt{\frac{3}{4}a^2}=a\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Skąd wzięły się wartości funkcji trygonometrycznych?
To, że przekątna kwadratu nie jest współmierna z jego bokiem, wykazali Pitagorejczycy. Wcześniej wierzyli oni, że wszystkie wielkości są współmierne (co - na jedno wychodzi - że wszystkie liczby są wymierne). Załamało to ich szkołę.