Równanie trygonometryczne

[C@rn@ge]

Rozwiąż równanie:

\(\displaystyle{ sin^2x+ \sqrt{3}cos^2x=( \sqrt{3}+1)sinxcosx}\). No to poczyniłem następujące kroki:
\(\displaystyle{ sin^2x+ \sqrt{3}(1-sin^2x)=( \sqrt{3}+1)sinxcosx}\)
\(\displaystyle{ sin^2x- \sqrt{3} sin^2x+ \sqrt{3}=( \sqrt{3} +1)sinxcosx}\)
\(\displaystyle{ sin^2x(1- \sqrt{3})+ \sqrt{3}=( \sqrt{3} +1)sinxcosx}\). I nie wiem co dalej. Proszę o jakąś wskazówkę.

[klaustrofob]

gdybyś podzielił stronami przez \(\displaystyle{ \cos^2 x}\), miałbyś r-nie \(\displaystyle{ \tg^2 x+\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)\tg x}\), czyli kwadratowe względem zmiennej \(\displaystyle{ \tg x}\). przed podzieleniem trzeba sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \cos x=0}\) nie spełnia tego r-nia, by nie "zgubić" jakiegoś rozwiązania.

[C@rn@ge]

No dobrze. Załóżmy ze narazie pomine to cosx=0 i zajmę się tylko równaniem kwadratowym. Czyli:
Wykonam podstawienie t:

\(\displaystyle{ t=tgx, t \in R}\) zatem

\(\displaystyle{ t^2+ \sqrt{3}- \sqrt{3}t-t=0}\)
\(\displaystyle{ (t- \sqrt{3})(t-1)=0 \wedge t \in R}\). Wracam teraz do podstawienia

\(\displaystyle{ tgx=1 \vee tgx= \sqrt{3}}\). Czy to jest dobrze? Jeżeli tak to dalej powinienem sobie poradzić.

Uwzględniając to \(\displaystyle{ cosx=0}\) otrzymuje \(\displaystyle{ sinx=0}\). Zatem żadnego dodatkowego rozwiązanie nie będzie chyba. Po rozwiązaniu powyższej alternatywy otrzymuje:

\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k\pi \vee x= \frac{\pi}{3 }+k\pi \wedge k \in C}\)

[klaustrofob]

das ist gut.

rozumiem, że uwagi o kosinusie i sinusie to skrót myślowy (że gdyby cosx=0, to byłoby sinx=0 i sprzeczność)?