Obliczyć wartość wyrażenia, funkcje cyklometryczne

[Tux]

\(\displaystyle{ \arc\sin \left( \sin \frac{7 \pi }{5} \right)}\)

[Lorek]

Musisz zapisać \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{5}}\) w postaci \(\displaystyle{ k\pi+\theta}\) gdzie \(\displaystyle{ \theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\), a potem skorzystać ze wzorów redukcyjnych i nieparzystości funkcji.

[szw1710]

Na pewno nie \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{5}}\), bo ta liczba nie leży w przedziale \(\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].}\)

Przedstaw np. ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ \sin\frac{7 \pi }{5}}\) w postaci

\(\displaystyle{ \sin\frac{7 \pi }{5}=\sin x}\),

gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest pewną liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\) (wyznaczoną jednoznacznie). Wtedy wartością Twojego wyrażenia jest właśnie \(\displaystyle{ x}\).

[Tux]

czyli wychodzi, że \(\displaystyle{ x= \frac{-2 \pi }{5}}\)
To teraz mam drugie pytanie, dlaczego przedział \(\displaystyle{ [- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}]}\)
skoro dziedziną arcus sinusa jest \(\displaystyle{ <-1;1>}\)?

i jak się te przedziały mają do funkcji typu \(\displaystyle{ sin(arccos x)}\) lub \(\displaystyle{ arccos(sin x)}\) itd.?

[szw1710]

Ale zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}\), a tam powinieneś się znaleźć w efekcie wykonania operacji \(\displaystyle{ \text{arcsin}(\sin x)}\).

[Tux]

a jak podejść do takiego przykładu?
\(\displaystyle{ \sin \left( \arc\cos \left( - \frac{1}{3} \right) \right)}\)

czy to będzie tak?
\(\displaystyle{ \arc\cos x=\arc\sin \sqrt{1-x^{2}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \arc\cos \left( - \frac{1}{3} \right) =\arc\sin \frac{ \sqrt{8} }{3}}\)
więc
\(\displaystyle{ \sin \left( \arc\sin \frac{ \sqrt{8} }{3}\right)=x \Rightarrow x= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)

Czy to jest poprawne rozwiązanie? czy istnieją inne metody rozwiązywania podobnych przykładów?

[szw1710]

Tak, OK.