Równanie trygonometryczne

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 12 lis 2010, o 19:48

Rozwiąż równanie : \(\displaystyle{ \tg \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) =\tg \left( \frac{\pi}{2}-x \right)}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)}\). Proszę o pomoc bo nie mam pojęcia jak to zrobić.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 19:57

w przedziale \(\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\) funkcja tangens jest różnowartościowa. zastanów się, co z tego wynika?

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 12 lis 2010, o 19:58

Szczerze to nie mam pojęcia. Naprawdę nie wiem jak się za to zabrać.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 20:00

a potrafisz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{2x-1}=\frac{1}{4x+3}}\)?

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 12 lis 2010, o 20:02

Tak, oczywiście. Tylko ja to zastosować to tego zadania?
Rozwiązałem i wszyło \(\displaystyle{ x= \frac{1}{12}\pi}\) i nie wiem skąd drugie rozwiązanie a wiem ze jest.

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 20:11

C@rn@ge pisze:Tak, oczywiście. Tylko ja to zastosować to tego zadania?

sorry, pomyliłem się, chciałem za szybko

Rozwiązałem bez tangensa i wszyło \(\displaystyle{ x= \frac{1}{12}\pi}\) i nie wiem skąd drugie rozwiązanie.

i to jest dobry pomysł, ale trzeba zachować ostrożność. z tego, że tangensy są równe nie wynika, że kąty są równe, jak to założyłeś. wynika tylko, że kąty różnią się o wielokrotność \(\displaystyle{ \pi}\) - bo funkcja tangens jest okresowa z okresem \(\displaystyle{ \pi}\). czyli piszesz tak: \(\displaystyle{ x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-x+k\pi}\). teraz wyznaczasz \(\displaystyle{ x}\), a potem wybierasz te \(\displaystyle{ x}\), które należą do rozważanego przedziału.

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 12 lis 2010, o 20:15

Bo jak otrzymałem to \(\displaystyle{ x=\frac{1}{12} \pi}\) to potem do \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\) dodałem właśnie to \(\displaystyle{ x=\frac{1}{12} \pi}\) i otrzymałem drugie rozwiązanie . Czy to ma jakiś sens?

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 12 lis 2010, o 20:21

poprawiłem swój ostatni post...

z równania na tangensy przechodzisz do równania \(\displaystyle{ x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-x+k\pi}\) skąd
\(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{6}+k\pi}\) i
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+\frac{k\pi}{2}}\) i teraz patrzysz, które \(\displaystyle{ x}\) należą do \(\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\).

weź kilka \(\displaystyle{ k}\) i przekonaj się, że tylko \(\displaystyle{ x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\) tylko dla \(\displaystyle{ k=-1}\) i \(\displaystyle{ k=0}\)

C@rn@ge · Post autor: **C@rn@ge** » 12 lis 2010, o 20:28

No i dzięki wielkie za rozwiązanie : ) Bardzo mi to pomogło : )