Wykaż równość trygonometryczną.

[Tux]

\(\displaystyle{ sin54^{\circ}-sin18^{\circ}= \frac{1}{2}}\)

[Vax]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin18^{o} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\)

Pozdrawiam.

[Tux]

jak otrzymałeś \(\displaystyle{ sin18^{o}}\)?

[Vax]

Istnieje na to wiele dowodów, jednym z nich jest dowód geometryczny, narysujmy trójkąt równoramienny o kątach 72*, 72*, 36*:

AU

2wodtt1.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 54 razy

Możemy przyjąć, że długość ramienia ma długość 1, teraz zauważmy, że trójkąty ABD oraz ADC są przystające, tak więc mamy:

\(\displaystyle{ \frac{x}{1} = \frac{1-x}{x}}\)

\(\displaystyle{ x^2=1-x}\)

\(\displaystyle{ x^2+x-1=0}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \vee x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\)

Pierwsza możliwość odpada, ponieważ x musi być dodatnie, tak więc mamy:

\(\displaystyle{ x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}}\)

I teraz z definicji sinusa:

\(\displaystyle{ \sin 18^{o} = \frac{\frac{x}{2}}{1} = \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\)

Mam nadzieję, że wszystko jest zrozumiałe

Pozdrawiam.