Wzory na długośći środkowych trójkąta

[kc9]

Prosiłbym o utwierdzenie mnie w tym, ze dobrze wyprowadziłem wzory na długości środkowych dowolnego trójkąta gdzie boki a,b,c są danymi. Oznaczyłem konty jako:
-β na przeciwko boku c
-α na przeciwko boku a
-δ na przeciwko b
A środkowe jako:
-s1 wychodząca z boku a
-s2 z boku b
-s3 z boku c

Wzory wyprowadzałem dzięki twierdzeniu cosinusów i wyniki takie oto:
↓s1↓=�√(-a�+2b�+2c�)
↓s2↓=�√(2a�-b�+2c�)
↓s3↓=�√(2a�+2b�+-c�)

DOBRZE ?

[PFloyd]

\(\displaystyle{ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\gamma}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\)

\(\displaystyle{ s_{1}^{2}=\frac{a^{2}}{4}+b^2-abcos\gamma}\)

\(\displaystyle{ s_{1}=\sqrt{\frac{b^{2}}{2}+\frac{c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}}}\)

[yorgin]

Może przyjmę poprawniejsze oznaczenia i napiszę jak mnie wyszło.
a,b,c-boki
\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\)-kąty odpowiednio naprzeciw boków a,b,c
\(\displaystyle{ S_a,S_b,S_c}\)-środkowe opuszczone odpowiednio na boki a,b,c.

Mamy z tw cosinusów:
\(\displaystyle{ S_c^2=a^2+\frac{c^2}{4}-accos\beta\\
cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ cos\beta}\) do wartości długości środkowej mamy:
\(\displaystyle{ S_c^2=a^2+\frac{c^2}{4}-ac(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})=a^2+\frac{c^2}{4}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\\
S_c=\sqrt{a^2+\frac{c^2}{4}-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}=\sqrt{\frac{4^2+c^2-2a^2-2c^2+2b^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\)
Dla pozostałych 2 środkowych mamy:
\(\displaystyle{ S_a=\frac{1}{2}\sqrt{-a^2+2b^2+2c^2}\\
S_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-b^2+2c^2}}\)
Jakby na to nie patrzeć, wyszło to samo, więc dobrze policzyłeś

[kc9]

Dzięki Panowie za odpowieź

[PFloyd]

imo ten topic powinien być założony w innym dziale...