równanie trygonometryczne

[darek20]

Ile rozwiązań ma to równanie \(\displaystyle{ \cos(100x)=\frac{x}{100}}\)?

[Kacperdev]

Hym... podzieliłem i narysowałem oba wykresy. Wykres \(\displaystyle{ \frac{x}{100}}\) interesuje nas tylko w przedziale:

\(\displaystyle{ x \in <-100;100>}\) ponieważ wtedy zbiór wartosci obu funkcji bedzie identyczny. ZW=<-1,1>

Okres funkcji cosinus wynosi: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{50}}\) Interesuje nas ile okresów tej funkcji zmiesci sie w przedziale \(\displaystyle{ <0;100>}\)

Io - ilosc okresow
\(\displaystyle{ Io= \frac{5000}{ \pi } \approx 1591.54}\) => czyli 1591 i niecały jeden okres. W kazdym okresie funkcja jest róznowartosciowa dla dwóch argumentów czyli
Ix - ilosc x dla <0,100>
\(\displaystyle{ Ix = 1591*2+1}\) Dlaczego plus 1? Ponieważ nie miesci sie tam caly okres. (ten ułamek)

Teraz wystarczy Ix pomnożyć przez 2 ponieważ cosinus jest f(x) parzysta a interesuje nas przedział
jeszcze <-100,0)

Wynik: \(\displaystyle{ 6366}\)

EDIT

Dzisiaj zauważyłem że bedzie jeszcze jedno rozwiązanie... wlasnie ze wzgledu na parzystosc funkcji cos i monotoniczosc funkcji więc \(\displaystyle{ 6367}\)

Taki jest mój tok rozumowania. Jezeli zle to przepraszam ; )