Równania trygonometryczne.

[Asker_93]

Siemanko.

Chciałbym Was poprosić o pomoc w rozwiązaniu i wytłumaczenie następujących równań:


\(\displaystyle{ 1. cos (3x - \frac{ \pi }{4} ) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2. 2 sin ^{2} (2x + \frac{ \pi }{2} ) - 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ 3. ctg ^{2} ( \frac{3x - \pi }{6} ) + 2 = 5}\)

\(\displaystyle{ 4. 2 sin ^{2} x - \sqrt{3} sin x - 3 = 0}\)

\(\displaystyle{ 5. 2 cos ^{2} x = cos x +1}\)

\(\displaystyle{ 6. \frac{1}{cos x} + cos x = cos ^{2} x + 1}\)


Proszę o szybkie rozwiązania mam to na jutro ;/

[ares41]

5)
Wszystko na lewą stroną, po prawej będziesz miał zero. Potem podstawienie \(\displaystyle{ t=cos\alpha}\) i masz równanie kwadratowe.

[Asker_93]

czy nie kminisz tego ze ja tego nie ogarniam TOTALNIE ??
Po co tam 3x itd...

[ares41]

5)
\(\displaystyle{ 2 cos ^{2} x = cos x +1\\2 cos ^{2} x- cos x-1= 0\\t=cosx \\2t^2-t-1=0\\\Delta=(-1)^2-4 \cdot 2 \cdot (-1)=9\\\sqrt{\Delta}= \sqrt{9}=3\\t_1= \frac{-(-1)-3}{2 \cdot 2}=-\frac{1}{2},\\t_2=\frac{-(-1)+3}{2 \cdot 2}=1\\cosx=- \frac{1}{2} \vee cosx=1\\x=\ldots \vee x=\ldots}\)

[Asker_93]

no dobra a reszta?? np pierwszy czy trzeci...??

[ares41]

1)
\(\displaystyle{ cos \left(3x - \frac{ \pi }{4}\right) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}\\t=\left(3x-\frac{ \pi }{4} \right)\\cost=- \frac{ \sqrt{2} }{2}\\t_1= \frac{3\pi}{4}+2k\pi, k \in C\\t_2=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi, k \in C\\3x-\frac{ \pi }{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \vee 3x-\frac{ \pi }{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi, k \in C\\x=\ldots \vee x=\ldots}\)

[Asker_93]

Nadal nie kminie...

masz moze jakiś ogólny wzór czy cos..??
mozesz jakies komentarze dać krok po kroku co robisz??

[ares41]

Najpierw podstawiam \(\displaystyle{ t=\left(3x-\frac{ \pi }{4} \right)}\).
Z tablic odczytuję, że \(\displaystyle{ cos t}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\) dla \(\displaystyle{ t= \frac{3\pi}{4} \vee t=-\frac{3\pi}{4}}\). Funkcja ta ma okres podstawowy \(\displaystyle{ 2\pi}\), co należy uwzględnić, dlatego dopisuję \(\displaystyle{ +2k\pi, k\in C}\).

Następnie w miejsce \(\displaystyle{ t}\) (w drugiej linijce) podstawiam wyznaczone wartości. Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą, z którego wystarczy już tylko ją wyznaczyć (\(\displaystyle{ x}\)).

[Asker_93]

to w tym 1:

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi + k \pi }{3}}\) ?? lub z - ...-- 2 listopada 2010, 19:20 --wes mi to ogarnij bo to poje**** jest...

[ares41]

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi + 2k \pi }{3} \vee x= -\frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3},k \in C}\)

[Asker_93]

ziomek nie mam pojęcia jak to roziwiązywać i tak już coś tam łapię ale nie wszystko możesz mi zrobić te przykłady a ja ogarne co i jak??

[ares41]

\(\displaystyle{ 3x - \frac{ \pi }{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \vee 3x - \frac{ \pi }{4}=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi\\3x =\frac{3\pi}{4}+2k\pi+ \frac{ \pi }{4}\vee 3x =-\frac{3\pi}{4}+2k\pi+ \frac{ \pi }{4}\\3x =\frac{3\pi+\pi}{4}+2k\pi\vee 3x =\frac{-3\pi}{4}+2k\pi+ \frac{ \pi }{4}\\3x =\frac{4\pi}{4}+2k\pi\vee 3x =\frac{-3\pi+\pi}{4}+2k\pi\\3x =\pi+2k\pi\vee 3x =\frac{-2\pi}{4}+2k\pi\\x = \frac{ \pi+2k\pi}{3}\vee 3x =-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\x = \frac{ \pi+2k\pi}{3}\vee x =-\frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3} \\k \in C}\)

[Asker_93]

chodziło mi o przykłady ...

[ares41]

4)
\(\displaystyle{ 2 sin ^{2} x - \sqrt{3} sin x - 3 = 0\\t=sinx\\2t^2-t \sqrt{3}-3=0\\\Delta=(- \sqrt{3} )^2-4 \cdot 2 \cdot (-3)=27\\ \sqrt{\Delta}=3 \sqrt{3} \\t_1= \frac{ -(-\sqrt{3})-3 \sqrt{3} }{2 \cdot 2} \\ t_2= \frac{ -(-\sqrt{3})+3 \sqrt{3} }{2 \cdot 2}\\t_1= - \frac{ \sqrt{3} }{2}\\t_2= \sqrt{3}\\sint=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \vee sint= \sqrt{3}}\)
Widać, że druga możliwość nie zachodzi, bo \(\displaystyle{ \sqrt{3} >1}\), a \(\displaystyle{ sin\alpha \in \left<-1;1\right>}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ sint=- \frac{ \sqrt{3} }{2}\\t=\ldots}\)

[Asker_93]

o wszystkie pozostałe przykłady...