Witam! Staram się obliczyć pochodną arcsin,ale nie wiem jak określić znak,czy ktoś może mi to wyjaśnić?
\(\displaystyle{ y=arcsin(x)}\)
a więc:
\(\displaystyle{ x = sin y}\)
Pochodna \(\displaystyle{ \frac{dx}{dy} = cos y}\)
A więc odwrotna pochodna \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos y}}\)
Teraz muszę mieć samo cos y,więc:
\(\displaystyle{ cos^{2}y + sin^{2}y = 1}\)
\(\displaystyle{ cos (y) = \pm \sqrt{1 - sin^{2}y }}\)
No i podstawiając to do pochodnej otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{ \pm \sqrt{1 - x^{2} } }}\)
Poprawna odpowiedź jest bez znaku(dodatnia) czyli cos(y) jest dodatni. Czy ktoś może mi wyjaśnić dlaczego tak jest? Wiem że to wynika z wykresu funkcji cos(y) w stosunku do jej odwrotności,ale nie potrafię się w tym połapać,na co mam patrzeć aby to zauważyć?
-- 31 paź 2010, o 17:35 --
dobra,już sam do tego doszedłem
skoro \(\displaystyle{ y = arcsin(x)}\), to w takim razie \(\displaystyle{ y}\) będzie pomiędzy \(\displaystyle{ [- \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}]}\),
a dla takich wartości \(\displaystyle{ cos (y)}\) zawsze będzie dodatnie