parametr m w równaniu

[Sirkami]

Witam!

mam problem z tym zadaniem:

Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązania:

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sin x +m=0}\)

Wiem że na pewno delta musi być większa od zera, czyli \(\displaystyle{ m \le \frac{1}{4}}\)
Tylko nie mogę wymyślić warunków, żeby \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) były w zakresie od -1 do 1.

Z góry dziękuje za pomoc

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ (-1\le x_1\le 1\wedge -1\le x_2\le 1)\iff (x_1\ge -1\wedge x_1\le 1\wedge x_2\ge -1\wedge x_2\le 1)\iff (x_1+1\ge 0\wedge x_1-1\le 0\wedge x_2+1\ge 0\wedge x_2-1\le 0)\iff \{[(x_1+1)+(x_2+1)\ge 0]\wedge [(x_1+1)(x_2+1)\ge 0]\wedge [(x_1-1)+(x_2-1)\le 0]\wedge [(x_1-1)(x_2-1)\ge 0]\}\iff [(x_1+x_2\ge -2)\wedge (x_1x_2+(x_1+x_2)\ge -1)\wedge (x_1+x_2\le 2)\wedge (x_1x_2-(x_1+x_2)\le -1)]}\)

Wystarczy teraz zastosować wzory Viete'a.

[kamil13151]

lukasz1804, wydaje mi się, że twoje rozwiązanie jest błędne, ponieważ Twój warunek to dwa rozwiązania w przedziale \(\displaystyle{ [-1;1]}\), a przecież może też być, że są dwa rozwiązania, które jedno spełnia założenie zadania?

[tatteredspire]

Witam!

mam problem z tym zadaniem:

Dla jakich wartości parametru m równanie ma rozwiązania:

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x + \sin x +m=0}\)

Wiem że na pewno delta musi być większa od zera, czyli \(\displaystyle{ m \le \frac{1}{4}}\)
Tylko nie mogę wymyślić warunków, żeby \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) były w zakresie od -1 do 1.

Z góry dziękuje za pomoc

Nie jestem pewien czy tak chciałeś zapisać, więc pytam - chcesz żeby \(\displaystyle{ x \in [-1,1]}\) czy \(\displaystyle{ \sin x \in [-1,1]}\)? Jest to równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ \sin x}\).

[kamil13151]

tatteredspire, zobacz z kiedy wątek

[tatteredspire]

tatteredspire, zobacz z kiedy wątek

Eh, racja.

[frej]

Ogólnie, skoro temat został już odświeżony...

Aby równanie \(\displaystyle{ \sin ^2 x + \sin x + m=0}\) miało rozwiązanie, potrzeba i wystarcza, żeby równanie \(\displaystyle{ f(t)=t^2+t+m=0}\) miało rozwiązanie(a) w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\). I są takie możliwości:

1. \(\displaystyle{ \Delta =0}\) wtedy sprawdzamy, że \(\displaystyle{ t_0=-\frac{1}{2} \in [-1,1]}\)
2. \(\displaystyle{ \Delta >0}\) i \(\displaystyle{ f(-1)\cdot f(1) < 0}\) - wtedy będzie dokładnie jedno rozwiązanie równania \(\displaystyle{ f(t)=0}\) w danym przedziale.
3. \(\displaystyle{ \Delta >0}\) oraz \(\displaystyle{ f(1) > 0 \; \; \; f(-1)>0}\). Trzeba jeszcze \(\displaystyle{ -\frac{\Delta}{4} <0}\) oraz\(\displaystyle{ -1 < -\frac{1}{2} <1}\) , ale to jest już zagwarantowane.
4. \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(1) \cdot f(-1) =0}\). Wtedy drugie miejsce zerowe łatwo obliczamy, bo jest on symetryczny do drugiego względem \(\displaystyle{ (x_w,0)}\)

[kamil13151]

frej, ale po co aż tyle warunków ?

\(\displaystyle{ \Delta \ge 0 \wedge f(1) \ge 0}\)

[frej]

Chciałem opisać, kiedy są dwa, a kiedy jedno rozwiązanie.