udowodnij tożsamości cyklometryczne

[damcios]

\(\displaystyle{ arc sinx+arc cosx= \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ \left|arc sinx \right| = arc cos \sqrt{1-x ^{2} }}\)

[pwlll]

W pierwszym, obustronnie bym "obłożył" fkcją sinus lub cosinus, i skorzystał z sinus sumy lub cosinus sumy, i powinno wyjsc ;p

[Qń]

Ogólna idea, na przykładzie pierwszego przykładu, jest taka:

Podstawiamy \(\displaystyle{ a=\arcsin x, b=\arccos x}\). Wtedy z uwagi na zbiory wartości funkcjy cyklometrycznych, musi być: \(\displaystyle{ a\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] , b\in [0,\pi ]}\), a ponadto mamy:
\(\displaystyle{ \sin a = x\\
\cos b = x}\)

Tak więc:
\(\displaystyle{ \sin a = \cos b = \sin \left(\frac{\pi}{2}- b \right)}\)
Zauważmy jednak, że \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2}- b \right) \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]}\), a na przedziale \(\displaystyle{ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]}\) sinus jest różnowartościowy, tak więc:
\(\displaystyle{ a= \frac{\pi}{2}-b}\)
czyli
\(\displaystyle{ a+b= \frac{\pi}{2}}\)
a tego właśnie mieliśmy dowieść.

Przykład drugi robi się podobnie, choć jest trochę bardziej skomplikowany.

Q.