Wykres elipsy.

[mocniej]

Witam!

Zadanie z fizyki, jednak dotyczące matematyki.

Kinematyczne równania ruchu:

\(\displaystyle{ x(t)=Asin(4t ^{2}+ \varphi _{1})}\)
\(\displaystyle{ y(t)=Bsin(4t ^{2} + \varphi _{2})}\)

Wykresem równania toru ma być elipsa o wzorze:

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{A ^{2}}+\frac{y ^{2}}{B ^{2}} = 1}\)

Jak dotąd, udało mi się ustalić, że:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{A ^{2}}+\frac{y ^{2}}{B ^{2}} = cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha}\)

i

\(\displaystyle{ x(t)=Acos(4t ^{2}+ [\varphi _{1} - 90])}\)
\(\displaystyle{ y(t)=Bsin(4t ^{2} + \varphi _{2})}\)

Proszę o pomoc. Chciałbym zaznaczyć, że jestem w 1. klasie liceum, fizyka podstawowa i chciałbym w miarę prostego tłumaczenia. Na pewno spróbuję rozwiązać to zadanie sam jednak chciałbym mieć "pewną wersję".

[JankoS]

...
Jak dotąd, udało mi się ustalić, że:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{A ^{2}}+\frac{y ^{2}}{B ^{2}} = cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha}\)...

No i to ostatnie \(\displaystyle{ cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha=1}\)

[mocniej]

Nie za bardzo rozumiem Twojego posta. Mógłbyś rozwiązać lub dać chociaż jakąś wskazówkę ?

[JankoS]

Holega doprowadził do postaci\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{A ^{2}}+\frac{y ^{2}}{B ^{2}} = cos ^{2} \alpha + sin ^{2} \alpha,}\) w której prawa strona to jedynka trygonometryczna.

[mocniej]

Hmm, nadal nie wiem jak to rozwiązać. Może nie sprecyzowałem zadania. Z tych pierwszych równań, tzn. kinematycznych równań ruchu (które zawierają czas), mam otrzymać równanie toru (czyli usunąć z nich czas). Mam otrzymać mniej więcej takie coś x = ... ( nie może być w tym równaniu czasu (t)) i y = ( też nie może być czasu (t)).

[Crizz]

Z tych pierwszych równań, tzn. kinematycznych równań ruchu (które zawierają czas), mam otrzymać równanie toru (czyli usunąć z nich czas).

\(\displaystyle{ \frac{x ^{2}}{A ^{2}}+\frac{y ^{2}}{B ^{2}} = 1}\) jest właśnie równaniem toru. Widzisz tu gdzieś czas?

Nie zapiszesz tego w postaci \(\displaystyle{ x=...,y=...}\), bo to byłoby równanie parametryczne (wartość x i y byłaby uzależniona od jakiegoś parametru), a parametr musiałby być w jakiś sposób powiązany z czasem.

[mocniej]

Spróbuję jeszcze raz sprecyzować. Wykresami toru pierwszych dwóch równań na pewno jest sinusoida, ew. cosinusoida. Mam tak przekształcić te wzory, by wykresem toru była elipsa o ww. wzorze.

[Crizz]

Wykresami toru pierwszych dwóch równań na pewno jest sinusoida, ew. cosinusoida.

Równanie nie ma wykresu toru, bo nie ma czegoś takiego jak wykres toru. Co najwyżej tor ruchu ciała (czyli krzywą, po której ciało się porusza) można czasami opisać równaniem i narysować krzywą opisaną przez to równanie.

Jesteś pewien, że miało być \(\displaystyle{ \varphi_1}\) w jednym równaniu ruchu i \(\displaystyle{ \varphi_2}\) w drugim?

[mocniej]

Tak, jestem pewien. \(\displaystyle{ \varphi _{1}}\) to faza początkowa ( bo przecież nie musiało zaczynać ruchu pionowo ), a \(\displaystyle{ \varphi _{2}}\) to faza końcowa.

Ustaliłem zależność \(\displaystyle{ \varphi _{1} = \varphi _{2} + 180 ^{\circle}}\)

Edit: Wykres toru to był skrót myślowy.

[Crizz]

OK, już chyba rozumiem, o co chodzi.

Zadanie można przeformułować tak:

Jaką zależność muszą spełniać \(\displaystyle{ \varphi_1,\varphi_2}\), żeby zachodziła równość
\(\displaystyle{ sin^{2}(4t^{2}+\varphi_1)+sin^{2}(4t^{2}+\varphi_2)=1}\)
(po lewej stronie równości znalazła się po prostu wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}}\)).

Korzystając z tożsamości \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha=\frac{1}{2}(1-cos2\alpha)}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(1-cos2(4t^{2}+\varphi_1))+\frac{1}{2}(1-cos2(4t^{2}+\varphi_2))=1}\)
\(\displaystyle{ 2-cos2(4t^{2}+\varphi_1)-cos2(4t^{2}+\varphi_2)=2}\)
\(\displaystyle{ cos2(4t^{2}+\varphi_1)+cos2(4t^{2}+\varphi_2)=0}\)

Następnie korzystamy z tożsamości \(\displaystyle{ cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}}\):
\(\displaystyle{ 2cos(8t^{2}+\varphi_1+\varphi_2)cos(\varphi_1-\varphi_2)=0}\)
\(\displaystyle{ cos(8t^{2}+\varphi_1+\varphi_2)cos(\varphi_1-\varphi_2)=0}\)

Iloczyn dwóch liczb jest zerem, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest zerem.

Otrzymana zależność ma zachodzić dla wszystkich możliwych \(\displaystyle{ t}\). Jeśli fazy \(\displaystyle{ \varphi_1,\varphi_2}\) mają być niezależne od czasu, to niemożliwe jest, żeby wyrażenie \(\displaystyle{ cos(8t^{2}+\varphi_1+\varphi_2)}\) było równe zeru dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\). Oznacza to, że musi zachodzić \(\displaystyle{ cos(\varphi_1-\varphi_2)=0}\), czyli:
\(\displaystyle{ \varphi_1-\varphi_2=\frac{\pi}{2}+k\pi}\), gdzie k jest całkowite (rozwiązaliśmy po prostu równanie \(\displaystyle{ cosx=0}\)).

Okazuje się zatem, że wystarczy, by \(\displaystyle{ \varphi_1,\varphi_2}\) były związane zależnością \(\displaystyle{ \varphi_1-\varphi_2=\frac{\pi}{2}+k\pi}\), a torem ruchu będzie elipsa o podanym wzorze.

[mocniej]

Dziękuję za rozwiązanie. Doszedłem do tego samego, znaczy \(\displaystyle{ cos(\varphi_1-\varphi_2) = 0}\)
Z tego co się orientuję, to \(\displaystyle{ \frac {\pi} {2}}\) jest związane z funkcjami cyklometrycznymi, tak ?

[Crizz]

Tzn. pytasz, skąd się wzięło \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)?

Mamy do rozwiązania równanie trygonometryczne postaci \(\displaystyle{ cosx=a}\). Jeśli znajdziemy jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ x_{0}}\), to wszystkie rozwiązania takiego równania można opisać jako:
\(\displaystyle{ x= \pm x_{0}+2k\pi,k\in Z}\)

Tutaj korzystamy z faktu, ze cosinus \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) jest zerem, zatem jednym z rozwiązań równania \(\displaystyle{ cos(\varphi_1-\varphi_2)=0}\) jest \(\displaystyle{ \varphi_1-\varphi_2=\frac{\pi}{2}}\) i wszystkie rozwiązania możemy opisać jako \(\displaystyle{ \varphi_1-\varphi_2= \pm \frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z}\), lub prościej: \(\displaystyle{ \varphi_1-\varphi_2=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z}\).