Wyprowadzenie wzoru na kwadrat funkcji

[nUmer]

Witam!

W jaki sposób się wyprowadza wzory na kwadrat funkcji?

Dajmy na to:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha = \frac{1}{2} \left( 1-cos2 \alpha \right)}\)

Mam oczywiście wzory na \(\displaystyle{ sin ^{n}a}\) - jednak przypuszczam, że istnieje prostszy sposób, jak w przypadku pozostałych tożsamości trygonometrycznych.

Będę bardzo wdzięczny za informacje dla sin, cos, tg, ctg

Wzory zaczerpnięte z "Poradnika encyklopedycznego Matematyka" I.N. Bronsztejna i K.A. Siemiendiajewa.

[piasek101]

Nie ma utartych reguł (tym bardziej, że nie podajesz od czego chcesz to uzależnić); nie wiem też do czego Ci to potrzebne.

Ten co podajesz to raczej przekształcony wzór na \(\displaystyle{ cos 2\alpha}\).

Już bardziej chodliwy jest \(\displaystyle{ sin^2 x =1-cos^2 x}\)

[nUmer]

Pragnę tym pytaniem zaspokoić moją ciekawość.
Do wyprowadzenia \(\displaystyle{ sin ^{2}\alpha}\) z jedynki trygonometrycznej nie mam żadnych zastrzeżeń - tam sytuacja jest dla mnie zupełnie jasna.
Inaczej ma się rzecz w przypadku wskazanego przeze mnie wzoru na podstawie "Poradnika encyklopedycznego".(Zależy mi na wyprowadzeniu do wskazanej postaci)

Czy mógłbyś wskazać w jaki sposób wyprowadzić ten wzór z \(\displaystyle{ cos2\alpha}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ cos2x=1-2sin^2 x}\)

[nUmer]

Ostatecznie wyprowadzenie przedstawia się wg mnie jak poniżej:
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos(\alpha + \alpha)=cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^{2}\alpha-(1-cos^{2}\alpha)}\)
\(\displaystyle{ cos2\alpha=2cos^{2}\alpha-1}\)
\(\displaystyle{ -cos2\alpha=-cos2\alpha-1}\)
\(\displaystyle{ 2cos^{2}\alpha=cos2\alpha+1|:2}\)
\(\displaystyle{ cos^{2}\alpha= \frac{1+cos2\alpha}{2} = \frac{1}{2}(1+cos2\alpha)}\)

Dziękuję za wskazówkę.

[piasek101]

\(\displaystyle{ cos2x=1-2sin^2 x}\)

Z tego masz od razu.

[nUmer]

Fakt - wyprowadzając od tyłu ze wzorów dotarłem wpierw do mego rozwiązania. Twoje oczywiście znacznie prostsze.

Miałbyś jakąś sugestię dotyczącą takiego wyprowadzenia, by w wyniku był zawarty również tg?

[piasek101]

Ale na \(\displaystyle{ sin^2 x}\) ?

[nUmer]

Tak - już podaję wzór z książki dla studiów technicznych autorstwa prof Marka Lassaka.
\(\displaystyle{ sin^{2}x= \frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x}}\)

[piasek101]

Tylko, że on nie jest prawdziwy dla wszystkich (x).

A idzie klasycznie z \(\displaystyle{ tgx=\frac{sinx}{cosx}}\)

[nUmer]

Jeśli słusznie się domyślam, iż chodzi o dziedzinę w której tkwi haczyk - to o tym wiem.

Edit: ubiegłeś mnie. Dzięki - poćwiczę i dam znać.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ sin2x=sin(x+x)=...}\) tu wzór na \(\displaystyle{ sin(x+y)}\) gdzie y=x.
Dla pozostałych funkcji na podwojony kąt analogicznie-- 27 paź 2010, o 00:26 --

Tak - już podaję wzór z książki dla studiów technicznych autorstwa prof Marka Lassaka.
\(\displaystyle{ sin^{2}x= \frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x}}\)

\(\displaystyle{ sin^{2}x=\frac{sin^{2}x}{1}= \frac{sin^{2}x}{sin^{2}x +cos^{2}x} =...= \frac{tg^{2}x}{1+tg^{2}x}}\)
W miejscu trzech kropek licznik i mianownik dzielimy przez \(\displaystyle{ cos^2x}\)

[piasek101]

\(\displaystyle{ sin2x=sin(x+x)=...}\) tu wzór na \(\displaystyle{ sin(x+y)}\) gdzie y=x.
Dla pozostałych funkcji na podwojony kąt analogicznie

To nie do tego wątku.

Dzięki - poćwiczę i dam znać.

A Ty mu od razu gotowca.

[nUmer]

Dzięki Panowie - oczywiście wyprowadziłem kwadraty na oba sposoby.

Mam jeszcze jedno krótkie pytanie dotyczące tożsamości - czy iloczyn sinusa x i y można poza interpretacją graficzną wyprowadzić z jakichś wzorów?
Jeśli tak, to poprosiłbym o wskazówkę.

EDIT:
Generalnie wyszedłem z sinusa sumy, wyciągając zeń cos(x)sin(y) by podstawić do sinusa różnicy jego wynik. Po długich i żmudnych wyliczeniach otrzymałem oczekiwany iloczyn sin(x)cos(y).

Dziękuję za pomoc!