Wspólny kąt w radianach dla sin i cos

[edaro]

Mam np. układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}sinx=\frac{1}{2} \\ cosx=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
jak określić wspólny kąt (x) w radianach? Jest na to jakiś szybki sposób?

[Afish]

Na przykład z wykresu/tablic/głowy.

[edaro]

To proszę napisz mi jak to zrobić z wykresu albo tablic, bo rozumiem, że "z głowy" to właśnie opiera się na tych dwóch poprzednich ;].

[Dasio11]

Z głowy możemy wydobyć wzorek prawdziwy dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\):
\(\displaystyle{ \sin^2(x) + \cos^2(x)=1}\),

który mówi nam, że powyższy układ równań jest sprzeczny.

[edaro]

Przepraszam. Pomyliłem się. \(\displaystyle{ sinx = \frac{ \sqrt{3}}{2}}\)

[Dasio11]

W takim wypadku - z głowy. Wiemy, że dla \(\displaystyle{ x in [0, 2 pi)}\) równanie \(\displaystyle{ \sin(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}}\) ma dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3} \vee x=\frac{2 \pi}{3}}\).
Podobnie, równanie \(\displaystyle{ \cos(x)=-\frac{1}{2}}\) jest spełnione dla \(\displaystyle{ x=\frac{2 \pi}{3} \vee x=\frac{4 \pi}{3}}\). Wspólne rozwiązanie to \(\displaystyle{ x=\frac{2 \pi}{3}}\).
Z okresowości funkcji sinus i cosinus otrzymujemy, że rozwiązaniem jest każda liczba postaci \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{3} + 2k \pi}\) dla \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\).