Udowodnij, że wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie

[kata189]

Udowodnij twierdzenie: dla wszystkich wartości rzeczywistych zmiennej \(\displaystyle{ t}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \cos(\sin t)}\)przyjmuje wartości dodatnie.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \cos[ \sin [ \mathbb{R}]]=\cos[ <-1, 1>] \stackrel{(1)}{=} \cos[ <0,1>] \stackrel{(2)}{=}<\cos(1), 1>}\)

gdzie \(\displaystyle{ f[\mathbb{A}]}\) oznacza obraz zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).

\(\displaystyle{ (1)}\) zachodzi, bo funkcja jest parzysta.
\(\displaystyle{ (2)}\) zachodzi, bo funkcja jest monotoniczna i ciągła na tym przedziale.

[kata189]

nie bardzo rozumiem :/

[Dasio11]

Funkcja sinus dla argumentów rzeczywistych przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1, 1]}\).

To oznacza, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sin(x) \in [-1, 1]}\).

W takim razie, dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\),
\(\displaystyle{ \cos(\sin(x))}\) musi wynosić tyle, ile \(\displaystyle{ \cos(t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in [-1, 1]}\).

Z wykresu odczytujemy, że:

\(\displaystyle{ *}\) jeśli \(\displaystyle{ t in [-1, 0)}\), to \(\displaystyle{ cos(t) in [cos(-1), 1)=[cos(1), 1)}\).
\(\displaystyle{ *}\) jeśli \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\), to \(\displaystyle{ \cos(t) \in [\cos(1), 1]}\).

Tak więc, dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ cos(sin(x)) in [cos(1), 1) cup [cos(1), 1)}\), czyli \(\displaystyle{ \cos(\sin(x))>0}\).

[kata189]

dzięki wielkie