Udowodnij, że wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie
- kata189
- Użytkownik
- Posty: 86
- Rejestracja: 28 kwie 2009, o 18:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: TL
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 7 razy
Udowodnij, że wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie
Udowodnij twierdzenie: dla wszystkich wartości rzeczywistych zmiennej \(\displaystyle{ t}\) wyrażenie \(\displaystyle{ \cos(\sin t)}\)przyjmuje wartości dodatnie.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2010, o 13:53 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Poprawa wiadomości.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Udowodnij, że wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie
\(\displaystyle{ \cos[ \sin [ \mathbb{R}]]=\cos[ <-1, 1>] \stackrel{(1)}{=} \cos[ <0,1>] \stackrel{(2)}{=}<\cos(1), 1>}\)
gdzie \(\displaystyle{ f[\mathbb{A}]}\) oznacza obraz zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ (1)}\) zachodzi, bo funkcja jest parzysta.
\(\displaystyle{ (2)}\) zachodzi, bo funkcja jest monotoniczna i ciągła na tym przedziale.
gdzie \(\displaystyle{ f[\mathbb{A}]}\) oznacza obraz zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ (1)}\) zachodzi, bo funkcja jest parzysta.
\(\displaystyle{ (2)}\) zachodzi, bo funkcja jest monotoniczna i ciągła na tym przedziale.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Udowodnij, że wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie
Funkcja sinus dla argumentów rzeczywistych przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ [-1, 1]}\).
To oznacza, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sin(x) \in [-1, 1]}\).
W takim razie, dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\),
\(\displaystyle{ \cos(\sin(x))}\) musi wynosić tyle, ile \(\displaystyle{ \cos(t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in [-1, 1]}\).
Z wykresu odczytujemy, że:
\(\displaystyle{ *}\) jeśli \(\displaystyle{ t in [-1, 0)}\), to \(\displaystyle{ cos(t) in [cos(-1), 1)=[cos(1), 1)}\).
\(\displaystyle{ *}\) jeśli \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\), to \(\displaystyle{ \cos(t) \in [\cos(1), 1]}\).
Tak więc, dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ cos(sin(x)) in [cos(1), 1) cup [cos(1), 1)}\), czyli \(\displaystyle{ \cos(\sin(x))>0}\).
To oznacza, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sin(x) \in [-1, 1]}\).
W takim razie, dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\),
\(\displaystyle{ \cos(\sin(x))}\) musi wynosić tyle, ile \(\displaystyle{ \cos(t)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in [-1, 1]}\).
Z wykresu odczytujemy, że:
\(\displaystyle{ *}\) jeśli \(\displaystyle{ t in [-1, 0)}\), to \(\displaystyle{ cos(t) in [cos(-1), 1)=[cos(1), 1)}\).
\(\displaystyle{ *}\) jeśli \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\), to \(\displaystyle{ \cos(t) \in [\cos(1), 1]}\).
Tak więc, dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ cos(sin(x)) in [cos(1), 1) cup [cos(1), 1)}\), czyli \(\displaystyle{ \cos(\sin(x))>0}\).