dziedzina oraz zbior wartosci

[mati7302]

\(\displaystyle{ f(x)=\arc\cos \frac{1-2x}{4}}\)
trzeba wyznaczyc D i Y.
jakby mogl ktos to wyjasnic krok po kroku...

[JankoS]

Z definicji arccos dziedziną jes zbiór rozwiązań układu nierówności \(\displaystyle{ -1 \le \frac{1-2x}{4} \le 1 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow - \frac{3}{2} \le x \le \frac{5}{2}.}\)
Z własności tejże i z powyższego \(\displaystyle{ 0 \le y \le \pi.}\)

[mati7302]

dzieki, zrozumialem.

dla takiej funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=arc sin \sqrt{ \frac{1-x ^{2} }{2} }}\)
D= \(\displaystyle{ <-\sqrt{3}; 0>}\)

Y=\(\displaystyle{ <- \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}>}\)
?

[JankoS]

To jest wszystko żle. Dziedziną jest zbiór taiki, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1 \le \sqrt{ \frac{1-x ^{2} }{2} } \le 1 \\ 0 \le \frac{1-x ^{2} }{2} \end{cases} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow -1 \le x \le 1 \ \leftarrow}\) dziedzina.
Dla x z tego przedziału \(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1-x ^{2} }{2} } \in <0; \frac{1}{2}> \rightarrow Y=<0; \frac{\pi}{6}>.}\)

[mati7302]

ok, dziedzine czaje.
dlaczego przyjales, ze wartosci koncza sie na 1/2? Funkcja arc sin ma \(\displaystyle{ Y= \langle-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\rangle}\)

[JankoS]

dlaczego przyjales, ze wartosci koncza sie na 1/2? Funkcja arc sin ma Y= <-pi/2 ; pi/2>

Formalnie rzecz biorąc mamy tutaj inną funkcję, bo jej dziedzina jest różna od dziedziny arcsin.(Nazywa sięto - chyba - obcięciem lub zawężeniem funkcji) Arcsin(a ma zbiór wartości, taki jaki ma dla \(\displaystyle{ a \in <-1;1>.}\) Badana funkcja zachowuje się jak arcsin(a) dla \(\displaystyle{ a \in <0; \frac{1}{2} >.}\), a więc \(\displaystyle{ arcsin0=0, arcsin \frac{1}{2}= \frac{\pi}{6}}\) i jest rosnąca.