Kilka zadań, wzory na połowę kąta, funkcje nietypowych kątów

[imax]

Czy ktoś wie z czym to ugryźć
1. Oblicz wartość funkcji trygo. kątów: \(\displaystyle{ \pi/12, \pi/8, 7\pi/8}\)

2. Wyprowadź wzory na \(\displaystyle{ sin( \frac{x}{2} ), cos( \frac{x}{2})}\). Pierwsza wskazówka: Spróbuj rozwiązać te zadania jednocześnie. Druga wskazówka: \(\displaystyle{ sin x = sin(2 \cdot \frac{x}{2}), cos x = cos(2 \cdot \frac{x}{2})}\)

[Afish]

1. Wzory na sinus i cosinus kąta połówkowego (ewentualnie podwojonego) mogą być przydatne.
2. Pokaż miejsce, w którym się zacinasz.

[rodzyn7773]

Właśnie 2 zadanie polega na wyprowadzeniu wzorów na funkcje kąta połówkowego.
\(\displaystyle{ cosx=cos (2* \frac{x}{2} )=cos^2( \frac{x}{2} )-sin^2 ( \frac{x}{2} ) =cos^2( \frac{x}{2} )-1+cos^2( \frac{x}{2} )=2cos^2( \frac{x}{2} )-1}\)
Cosinus kąta połówkowego policzysz z równania:
\(\displaystyle{ cosx=2cos^2( \frac{x}{2} )-1}\)

Sinus z tego samego tylko podstawiasz:
\(\displaystyle{ cos^2( \frac{x}{2} )=1-sin^2( \frac{x}{2} )}\)

Jak masz te wzory to 1 zadanie nie powinno stwarzać problemu.

[imax]

a takie równanie:
\(\displaystyle{ cos(5x) = sin(3x)}\)

[Crizz]

\(\displaystyle{ sin3x=cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}\)

Mamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 5x=\frac{\pi}{2}-3x+2k\pi,k\in Z}\)
oraz
\(\displaystyle{ 5x=-\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)+2k\pi,k\in Z}\)

[imax]

Mógłbyś to jakoś wytłumaczyć?

[Crizz]

Hmm...

No generalnie, kiedy masz równanie \(\displaystyle{ cosx=a}\) to szukasz dowolnego rozwiązania \(\displaystyle{ x_{0}}\), które spełnia to równanie, a potem piszesz, ze wszystkie rozwiązania równania mają postać:
\(\displaystyle{ x= \pm x_{0}+2k\pi}\)
(wynika to z parzystości i okresowości funkcji cosinus)

Musisz się zatem zgodzić, że jeśli \(\displaystyle{ cos\alpha=cos\beta}\), to zachodzi właśnie \(\displaystyle{ \beta= \pm \alpha+2k\pi}\) (właśnie z tej własności korzystasz przy rozwiązywaniu równania z cosinusem: skoro wiesz, że \(\displaystyle{ cosx_{0}=a}\), to dla liczb \(\displaystyle{ \pm x_{0}+2k\pi}\) i tylko dla nich zachodzi \(\displaystyle{ cos( \pm x_{0}+2k\pi)=cosx_{0}=a}\)).

Tutaj mamy także równość dwóch cosinusów: \(\displaystyle{ cos(5x)=cos\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)}\). Stosujemy opisaną powyżej własność i dostajemy to, co zapisałem w poprzednim poście.